Extremalwertaufgabe: Gebrochen rationale Funktionen: 1-Liter-Dose mit minimalem Materialverbrauch? (mit und ohne Deckel)

Question

Ich verstehe diese Aufgabe nicht. Ich weiss nicht wie ich zu den Nebenbedingungen und zu diesem Resultat kommen kann.

Aufg.
Eine zylindrische Blechdose
a) ohne Deckel

b) mit Deckel

soll einen Liter fassen. Welches Verhältnis bilden Grundkreisdurchmesser und Höhe der Dose mit dem geringsten Materialverbrauch?

Die Lösung bei a) 2:1          b) 1:1

Danke für jede Hilfe

Comments

Hier die Teilaufgabe ohne Deckel mit 1.5-Liter Inhalt. Hoffe, dass dir bei der Lektüre die Erleuchtung kommt. https://www.mathelounge.de/40723/extremalwertaufgabe-kochtopf-moglichst-material-verbraucht

Answer 1

 

die zylindrische Blechdose hat das Volumen

V = π * r² * h = 1

Wir lösen nach h auf: 

h = 1 / π / r²

 

Ohne Deckel hat die Dose die Oberfläche

O = π * r² + 2πr * h

Setzen wir das h von oben ein, erhalten wir als Oberflächenformel

f(r) = π * r² + 2πr * 1/π/r²

Die 1. Ableitung dieser Funktion muss = 0 gesetzt werden, dann setzt man das Ergebnis für r in die 2. Ableitung der Funktion ein; ist dieses > 0, so haben wir ein Minimum. 

 

Mit Deckel hat die Dose die Oberfläche

O = 2* π * r² + 2πr * h

Setzen wir das h von oben ein, erhalten wir als Oberflächenformel

f(r) = 2*π*r² + 2πr * 1/π/r²

Die 1. Ableitung dieser Funktion muss = 0 gesetzt werden, dann setzt man das Ergebnis für r in die 2. Ableitung der Funktion ein; ist dieses > 0, so haben wir ein Minimum. 

 

Besten Gruß

Comments

Danke 

bei ohne Deckel habe  ich abgeleitet und zwar

f(r)= π * r2 + 2/r

f'(r)= π * 2r + -2/r²=0

(π * 2r³ - 2)/ r² =0

2(π * r³ - 1) = 0

jetz komme ich aber nicht mehr weiter... und wie kann ich dann das ins Verhältnis setzen?

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Gern :-)

 

Ohne Deckel: 

f(r) = π * r² + 2 * π * r * 1 / π / r² = π * r² + 2/r = π * r² + 2 * r^-1

f'(r) = 2 * π * r - 2 * r^-2

Die Ableitung von Dir ist korrekt!

f'(r) = (π * 2r³ - 2) / r² = 0 | * r²

f'(r) = π * 2r³ - 2 = 0

f'(r) = 2 * (π * r³ - 1) = 0

Hätte ich bis dahin alles genauso gerechnet. 

 

Jetzt beide Seiten durch 2 dividieren: 

f'(r) = π * r³ - 1 = 0 | + 1

π * r³ = 1 | : π

r³ = 1/π | 3. Wurzel ziehen

r = ³√(1/π)

 

Ich hoffe, das ist nachvollziehbar :-)