Extremalwertaufgabe: Kochtopf von 1.5 Liter Inhalt. Suche h und r, wenn möglichst wenig Material verbraucht wurde.

Question

Ein Kochtopf hat einen Inhalt von 1,5 Liter. Berechne seine Abmessungen,wenn mglichst wenig Material für seine Herstellung verwendet werden soll

Ich finde dieses Beispiel sehr schwer, hat jemand mehr Ahnung darüber ??

Answer 1

Ein Kochtopf hat die Form eines Zylinders

Nebenbedingung

V = G * h = pi *r^2 * h = 1500 cm^3
h = 1500/(pi·r^2)

Zu minimierende Hauptbedingung oder Zielfunktion

O = 2 * pi * r^2 + 2 * pi * r * h
O = 2 * pi * r^2 + 2 * pi * r * 1500/(pi·r^2) = 2·pi·r^2 + 3000/r
O' = 4·pi·r - 3000/r^2 = 0

4·pi·r^3 - 3000 = 0
r = (3000/(4·pi))^{1/3}

h = 1500/(pi·((3000/(4·pi))^{1/3})^2) = 2 * (3000/(4·pi))^{1/3}

Damit ist die Höhe des Kochtopfes genau so lang wie 2 mal der Radius bzw. genau so lang wie der Durchmesser.

Comments

h = 1500/(pi·((3000/(4·pi))1/3)2) = 2 * (3000/(4·pi))1/3

kannst du mir in langsamen schritten zeigen wie du zu diesem Ergebnis gekommen bist 

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Ich habe bei

h = 1500/(pi·r²)

für r =  (3000/(4·pi))^1/3

eingesetzt

h = 1500/(pi·((3000/(4·pi))^1/3)²)

Nun vereinfacht man den Term so weit wie möglich

h = 1500/(pi·(3000/(4·pi))^{2/3})

h = 1500·(3000/(4·pi))^{1/3}/(pi·(3000/(4·pi))^{3/3})

h = 1500·(3000/(4·pi))^{1/3}/750

h = 2·(3000/(4·pi))^{1/3}