Taylorpolynom: Bestimme die Approximation der Funktion f:R--> R; y= cos(x)

Question

Bestimme die Approximation der Funktion f:R--> R; y= cos(x)

an der Stelle xo= π/2 durch ein Taylor-polynom3. Grades

Answer 1

f ( x ) = T₃ ( x ) + R₃ ( x )

wobei T₃ ( x ) das Taylorpolynom dritten Grades an der Entwicklungsstelle x₀ und R₃ ( x ) das zugehörige Restglied ist.

Für das Taylorpolynom gilt dabei:

T₃ ( x ) = SUMME [ k = 0 .. 3 ] ( f ^{( k )} ( x₀ ) / k ! ) * ( x - x₀ ) ^k

wobei f ^{( k )} ( x ) die k-te Ableitung von f bezeichnen soll.

Für f ( x ) = cos ( x ) und mit der Entwicklungsstelle x₀ =  π / 2 ergibt sich daraus:

T₃ ( x ) =  ( cos ( π / 2 ) / 0 ! ) * ( x - ( π / 2 ) ) ⁰ + ( cos ' ( π / 2 ) / 1 ! ) * ( x - ( π / 2 ) ) ¹

+ ( cos ' ' ( π / 2 ) / 2 ! ) * ( x - ( π / 2 ) ) ² + ( cos ' ' ' ( π / 2 ) / 3 ! ) * ( x - ( π / 2 ) ) ³

= 0 - ( 1 / 1 ) * ( x - ( π / 2 ) ) ¹ - 0 + ( 1 / 6 ) * ( x - ( π / 2 ) ) ³

= ( x - ( π / 2) ) + ( 1 / 6 ) * ( x - ( π / 2 ) ) ³

Unter folgendem Link kann man die Graphen der Funktion cos ( x ) und des berechneten Taylorpolynoms T ₃ ( x ) anschauen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=cos+%28+x%29+%2C+-+%28+x+-+pi%2F2%29+%2B+%28+1+%2F+6+%29+*+%28+x+-+pi%2F2+%29+%C2%B3from+-pi%2F2+to+3pi%2F2

Comments

Dir ist in der letzten Zeile ein Vorzeichenfehler passiert.

---

Vielen Dank für den Hinweis. Ich finde es sehr erfreulich, dass Antworten offenbar doch genau gelesen werden ... womit ich natürlich nicht sagen will, ich hätte den Fehler absichtlich eingebaut, um eben dieses zu prüfen ... :-)

Du hast natürlich recht, der Ausdruck in der letzten Zeile der Berechnung muss mit einem Minuszeichen beginnen.