Taylorpolynom, 3. Grades, Fehler. T(ξ) =e^ (sin(ξ))·( 3·SIN^2(ξ)+(1-6·COS^2(ξ)))·SIN(ξ)+COS^4(ξ) - 4·COS^2(ξ) )

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Funktionen \( f, g, h: [0, \pi] \rightarrow R . \) Bestimmen sie jeweils das Taylorpolynom \( 3 . \) Grades
um den angegebenen Entwicklungspunkt \( x_{o} \) und schätzen Sie den Approximationsfehler nach oben ab: \( g(x)=e^{sin(x)} \) mit Entwicklumgspunkt \( x_{0}=0 \)

\( g^{\prime \prime \prime \prime}(x)=e^{\sin x}\left(3 \sin ^{2} x+\left(1-6 \cos ^{2} x\right) \sin x+\cos ^{4} x-4 \cos ^{2} x\right) \)
\( \left|R_{3}(x)\right|=\left|\frac{e^{\sin \xi}\left(3 \sin ^{2} \xi+\left(1-6 \cos ^{2} \xi\right) \sin \xi+\cos ^{4} \xi-4 \cos ^{2} \xi\right)}{4 !}\right| *\left|(x-0)^{4}\right| \)

Es geht hier nur um den Approximationsfehler. Was setzte ich für ξ ein, um den größtmöglichen Wert zu erhalten. Bitte mit Begründung.

Answer 1

Hallo Probe,

sin(ξ) ist maximal 1  und cos²(x) minimal 0  (für ξ = π/2)  

T(ξ)  =   e^sin(ξ) · ( 3·SIN(ξ)^2 + (1 - 6·COS(ξ))^2)·SIN(ξ) + COS(ξ)^4 - 4·COS(ξ)^2 )   

Man hat:

 e^sin(ξ)   maximal e   (für ξ = π/2)    

3·SIN(ξ)^2 + (1 - 6·COS(ξ)^2)·SIN(ξ)   maximal 4  (für ξ = π/2)  

COS(ξ)^4 - 4·COS(ξ)^2 = cos^2(ξ) · (cos²(ξ) - 4)   maximal 0   (für ξ = π/2)  

→  | T(ξ) / 4! |  hat maximal den Wert  e·4 / 4!  =  e/6   (für ξ = π/2)  

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Kontrolle   Wolframalpha    (mit ξ = x  ;  dauert ein paar Sekunden!)

Dort kannst Du Dir auch den Graph von | T(ξ) / 4! |  ansehen.

Gruß Wolfgang