Die Cosinusfunktion soll durch ein Polynom approximiert werden, ohne dass der Tayloransatz verwendet wird.
Hintergrund:
http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Schwingungen.html
habe mich schon eine ganze Weile mit dieser Problematik beschäftigt und finde da keine befriedigende Lösung, mit dem Ersatz der Cosinusfunktion durch ein Polynom, ohne Tayloransatz!
Gegeben sei die Wellengleichung der Form: y1=a*(x*c)^4-b(x*c)^2+d
die Funktion soll an der Stelle x=pi/2 approximiert werden, approximiert werden soll y2=cos(x)+1
die Welle ist symmetrisch, deshalb c
1. Ableitung des Polynoms ergibt:
4ac(xc)^3-2bxcc=-1 -1=-sin(pi/2), daraus folgt: a=1(c^4*pi^3)
2 Ableitung ergibt:
12ac^2*(xc)^2-2bc^2=0 0=-cos(pi/2), daraus folgt: b=6ac^2*(pi/2)
des weiteren soll gelten:
y1=1=a(xc)^4-b(xc)^2+1, a und b eingesetzt ergibt: c=(12/pi^2)^0,5, damit ergibt sich a=pi/144 und b=18pi/144,
damit komme ich zu folgenden Graphen:
y1=pi/144(x*(12/pi^2)^0,5)^4-pi/144*18(x*(12/pi^2)^0,5)^2+2
~plot~ cos(x)+1; pi/144(x*(12/(pi)^2)^0,5)^4-pi/144*18(x*(12/(pi)^2)^0,5)^2+2;-( pi/144((x-pi)(12/(pi)^2)^0,5)^4-pi/144*18((x-pi)*(12/(pi)^2)^0,5)^2); -5/8x+2~plot~
folgende Wertepaare wurden ermittelt:
für x=0, cos(x)+1; y1 ergibt sich 0;0
für x=pi/6 1,866025; 1,87152
für x=pi/4 1,7071067; 1,717747
für x=pi/3 1,5; 1,515186
für x=pi/2 1; 1,0182522
damit ergibt es sich, dass alle approximierten Werte rund 0,015 zu hoch sind
kann man diesen Fehler in irgendeiner Form, zb. durch einen Faktor oder eine weitere Reihenentwicklung korrigieren, dies ist meine Hauptfrage
weitere Betrachtung der einzelnen Faktoren
a=pi/144, c=(12/pi^2)^0,5, b=18pi/144 und x war ja pi/2
dadurch ergibt sich c=(1/(a)^{0,5}*1/pi^{3/2})^{0,5}, a=4/9b^2/pi und b=18*pi/144
damit ergibt sich folgende Sekante,die wahrscheinlich die Bogenlänge der Funktion y1 ermittelt:
x=pi/2, daraus folgt:
a=x/72, b=1/4*x, c=(3/x^2)^0,5
für y1 eingesetzt ergibt sich damit y=-5/8x+2
Die Hauptfrage habe ich blau gestaltet, ein "Dankeschön" für die Antworten!!!!!
