Approximation der Cosinusfunktion durch ein Polynom ohne Taylor

Question

Die Cosinusfunktion soll durch ein Polynom approximiert werden, ohne dass der Tayloransatz verwendet wird.

Hintergrund:

http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Schwingungen.html

habe mich schon eine ganze Weile mit dieser Problematik beschäftigt und finde da keine befriedigende Lösung, mit dem Ersatz der Cosinusfunktion durch ein Polynom, ohne Tayloransatz!

Gegeben sei die Wellengleichung der Form: y₁=a*(x*c)^4-b(x*c)^2+d

die Funktion soll an der Stelle x=pi/2 approximiert werden, approximiert werden soll y₂=cos(x)+1

die Welle ist symmetrisch, deshalb c

1. Ableitung des Polynoms ergibt:

4ac(xc)^3-2bxcc=-1 -1=-sin(pi/2), daraus folgt: a=1(c^4*pi^3)

2 Ableitung ergibt:

12ac^2*(xc)^2-2bc^2=0 0=-cos(pi/2), daraus folgt: b=6ac^2*(pi/2)

des weiteren soll gelten:

y₁=1=a(xc)^4-b(xc)^2+1, a und b eingesetzt ergibt: c=(12/pi^2)^0,5, damit ergibt sich a=pi/144 und b=18pi/144,

damit komme ich zu folgenden Graphen:

y₁=pi/144(x*(12/pi^2)^0,5)^4-pi/144*18(x*(12/pi^2)^0,5)^2+2

~plot~ cos(x)+1; pi/144(x*(12/(pi)^2)^0,5)^4-pi/144*18(x*(12/(pi)^2)^0,5)^2+2;-( pi/144((x-pi)(12/(pi)^2)^0,5)^4-pi/144*18((x-pi)*(12/(pi)^2)^0,5)^2); -5/8x+2~plot~

folgende Wertepaare wurden ermittelt:

für x=0, cos(x)+1; y₁ ergibt sich 0;0

für x=pi/6 1,866025; 1,87152

für x=pi/4 1,7071067; 1,717747

für x=pi/3 1,5; 1,515186

für x=pi/2 1; 1,0182522

damit ergibt es sich, dass alle approximierten Werte rund 0,015 zu hoch sind

kann man diesen Fehler in irgendeiner Form, zb. durch einen Faktor oder eine weitere Reihenentwicklung korrigieren, dies ist meine Hauptfrage

weitere Betrachtung der einzelnen Faktoren

a=pi/144, c=(12/pi^2)^0,5, b=18pi/144 und x war ja pi/2

dadurch ergibt sich c=(1/(a)^{0,5}*1/pi^{3/2})^{0,5}, a=4/9b^2/pi und b=18*pi/144

damit ergibt sich folgende Sekante,die wahrscheinlich die Bogenlänge der Funktion y₁ ermittelt:

x=pi/2, daraus folgt:

a=x/72, b=1/4*x, c=(3/x^2)^0,5

für y₁ eingesetzt ergibt sich damit y=-5/8x+2

Die Hauptfrage habe ich blau gestaltet, ein "Dankeschön" für die Antworten!!!!!

       

Comments

6. Zeile von unten muß lauten:

c=(1/(a)^0,5*1/pi^3/2)^0,5, alles andere müsste stimmen

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Ich hoffe, c=(1/(a)^{0,5}*1/pi^{3/2})^{0,5} steht nun dort, wo du es haben wolltest. 

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Bitte. Sieht in deiner Darstellung aus wie ein mathematisches Problem. Vielleicht haben Physiker hier einen Standardansatz. Hast du das abgeklärt?  Nachtrag: Bitte Frage nicht gleich in beiden Foren posten. Nach ein paar Tagen hier oder auf deinen Wunsch kann ein Redakteur die Frage (zusammen mit ihrer Diskussion und allfälligen Antworten) immer noch verschieben. 

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Ich sehe dies als mathematisches Problem.

Answer 1

Wenn du eine Funktion über eine einzige Stelle und Funktionswerte der Funktion und deren Ableitungen definierst ist das doch der Ansatz von Taylor, auch wenn du es nicht so nennen möchtest.

Dieses Polynom gibt die Funktion möglichst exakt, um diese Stelle wieder. Für entferntere Stellen kann es zu Abweichungen führen.

Wenn du es durch einen Faktor korrigierst, dann passt der Graph in einem Intervall eventuell besser aber diese eine Stelle wird dadurch nicht mehr so exakt wiedergegeben.

Möchtest du den Graphen in einem Intervall genähert haben, dann benutzt man in der Regel ein Regressionspolynom bzw. eine Regressionsfunktion.