Für Taylor brauchst du ja
T2(x) = f(1) + f ' (1)*(x-1) + f ' ' (x) / 2 * ( x-1) ^2
Aus (f(x))^5 + (x-1) ^2 * f(x) = x^2 folgt
(f(1))^5 + (1-1) ^2 * f(1) = 1^2
(f(1))^5 = 1
f(1) = 1
und mit implizitem Differenzieren
5 * (f(x))^4 * f ' (x) + 2(x-1) * f (x) + (x-1) ^2 * f ' (x) = 2x #
und also für x=1
5 * (f(1))^4 * f ' (1) + 2(1-1) * f (x) + (1-1) ^2 * f ' (x) = 2
5 * (f(1))^4 * f ' (1) = 2 und wegen f(1)=1 also
f ' (1 ) = 2/5
Und # nochmal differenzieren
5 * 4 * (f(x))^3 * f ' (x) + 5 *(f(x))^4 * f ' ' (x) + 2f(x) + 2(x-1) * f ' (x) +2 (x-1) * f ' (x) + (x-1) ^2 * f ' ' (x) = 2
und jetzt 1 einsetzen
20 * (f(1))^3 * f ' (1) + 5 *(f(1))^4 * f ' ' (1) + 2f(1) + 2(1-1) * f ' (x) +2 (1-1) * f ' (x) + (1-1) ^2 * f ' ' (x) = 2
20 * (f(1))^3 * f ' (1) + 5 *(f(1))^4 * f ' ' (1) + 2f(1) = 2
f(1) und f ' (1) einsetzen
20 * 2/5 + 5 * f ' ' (1) + 2 = 2
8 + 5 * f ' ' (1) = 0
f ' ' (1) = -8/5
also T2(x) = 1 + (2/5)*(x-1) + (-8/5) / 2 * ( x-1) ^2
= 1 + (2/5)*(x-1) + (-4/5) * ( x-1) ^2