Absolute / relative Faktoränderung eines Portfolios und Taylor-Approximation

Question

Aufgabe:

Let \( V \) be a portfolio of 10 shares of stock \( S^{1} \) and 15 shares of stock \( S^{2} \), both denominated in USD, that is, \( V=10 S^{1}+15 S^{2} \). The security prices are \( S_{0}^{1}=50 \$ \) and \( S_{0}^{2}=30 \$ \), respectively. The current exchange rate is given by \( X_{0}=0.8(1 \$ \) is \( 0.8 €) \). The current value of the portfolio is given by:

\( V_{0}=10 S_{0}^{1} X_{0}+15 S_{0}^{2} X_{0}=400 €+360 €=760 € \)

1. Determine the exact value change using absolute factor changes

2. Determine the 1st-order value change approximation using absolute factor changes

3. Repeat exercises 1 and 2 using relative factor changes

Answer 1

1) Die Änderung des Portfoliowertes in Euro setzt sich so zusammen:

2) Approximative Änderung des Portfoliowertes in Euro:

Comments

Gut, so weit war ich prinzipiell auch schon :) das hat die AI dann schon erklärt.

Meine Frage bezog sich auf 3 Punkte.

1. wie ich von da

I)  10 ( \(  {S}_{0}^{1}  \) + Δ\(  {S}^{1}  \)) (\(  {x}_{0}  \) + ΔX) + 15 ( \(  {S}_{0}^{2}  \) + Δ\(  {S}^{2}  \)) ( \(  {x}_{0}  \) + ΔX) - 10 \(  {S}_{0}^{1}  \)   \(  {x}_{0}  \) - 15 \(  {S}_{0}^{2}  \)  \(  {x}_{0}  \)

hierher komme. Habe alles mir erdenkliche probiert

 8Δ \(  {S}^{1}  \) + 12Δ \(  {S}^{2}  \) + 950ΔX + (10 Δ \(  {S}^{1}  \) + 15 Δ  \(  {S}^{2}  \)  ) ΔX

2. Wie ich dann von dem oben auf die Approximative Änderung komme.

3. Wie ich das ganze dann Berechne wenn ich "neue Informationen" bekomme. Die da wären, das die Aktien / der Wechselkurs sich wie folgt verändert S1= 40 S2 = 50 und X0 = 0.7

Die "Änderungen" (Δ's) wären ja wie folgt:

ΔS1 = 40 - 50 = -10

ΔS2 = 50 - 30 = 20

ΔXo = 0.7 - 0.8 = -0.1

Da ich aber den "Weg von oben nach unten" nicht nachvollziehen kann, fällt mir das ganze nicht gerade leicht.

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1) Es wurden 10 und 15 Dollar durch 8 und 12 Euro ersetzt.

2) Man hat den geringfügigen vierten Summanden weggelassen.

3) Man setzt die Veränderung dort ein, wo Delta steht.

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ok, ich werde die kommenden Tage das ganze mal ausrechnen (und eine ähnliche Aufgabe) und meine Lösungen präsentieren.

Nochmals vielen Dank !

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Hallo, ich hatte leider erst jetzt Zeit mich wieder damit zu beschäftigen und ich muss leider sagen ich verstehe es immer noch nicht.

Ich versuche einmal meinen Rechenweg & meine Gedanken dazu  darzustellen:

Zu 1)

Es wird also gar nichts gerechnet ? Sonder eingesetzt ? Ich dachte nämlich das das hier im folgenden der Rechenweg wäre?

ΔV = V ( \(  {S}_{0}^{1}  \) + Δ\(  {S}^{1}  \) , \(  {S}_{0}^{2}  \) + Δ\(  {S}^{2}  \), \(  {x}_{0}  \) + ΔX) - V(\(  {S}_{0}^{1}  \), \(  {S}_{0}^{2}  \), \(  {x}_{0}  \))

I = 10 ( \(  {S}_{0}^{1}  \) + Δ\(  {S}^{1}  \)) (\(  {x}_{0}  \) + ΔX) + 15 ( \(  {S}_{0}^{2}  \) + Δ\(  {S}^{2}  \)) ( \(  {x}_{0}  \) + ΔX) - 10( \(  {S}_{0}^{1}  \)  \(  {x}_{0}  \)  )- 15( \(  {S}_{0}^{2}  \)  \(  {x}_{0}  \) )
II = 8Δ \(  {S}^{1}  \) + 12Δ \(  {S}^{2}  \) + 950ΔX + (10 Δ \(  {S}^{1}  \) + 15 Δ  \(  {S}^{2}  \)  ) ΔX

Wenn ich die Zahlen dann einsetzte , komme ich bei beiden Formeln (habe sie jetzt I & II genannt) auf das gleiche Ergebnis. Also kann ich annehmen , das das einfach umgeschrieben wurde ? Die Frage ist wieso ? :)

I: 10 ( 50 + (-10) (0.8 - 0.1 ) + 15 (30 + 20 ) (0.8 - 0.1) - 10 (50 * 0.8 ) - 15 (30 * 0.8)

= 280 + 525 - 400 - 360 = 45

II: 8(-10) + 12 (20) + 950 (-0,1) + ( 10 * (-10) + 15 *(20)) * (-0.1)

= 45

Zu 2) Gut, das der vierte Summand weggelassen wurde, ist ja prinzipiell direkt ersichtlich . Aber auch hier stellt sich mir die Frage nach dem wieso ? Bei der erste taylor approximation müsste man doch partiell ableiten ? Oder verstehe ich da was falsch ?

Die Rechnung sehe dann wie folgt aus:

8 ( -10) + 12 ( 20) + 950 (-0.1)

= -80 + 240 -95

= 65

Dieses Ergebnis habe ich auch in meinen Notizen gefunden. Diese Differenz von 20 würde ich dann als sogenannten First order error interpretieren ?

Außerdem ist mir eben erst aufgefallen , das wir die Frage 3 ausgelassen haben. Hier bin ich mir nicht mehr sicher, ob ich den Lösungsweg auch per Mail geschickt habe. Werde das aber nochmal nachprüfen.