Wie berechnet man den Grenzwert für n gegen unendlich

Question

Aufgabe:

Wie berechnet man diesen Grenzwert

Problem/Ansatz:

n*(2^n/e^n)-> unendlich. Lässt es sich durch ne konstante beschränken?  Weil des in der klammer strebt ja gegen 0 aber außen ist noch ein n. Wie begründet man das?

Answer 1

Du kannst zum Beispiel ausnutzen, dass \(e>2\) gilt:

\(\frac 2e <1\)

Du kannst daher \(\frac 2e\) so schreiben:

\(\frac 2e = \frac 1{1+p}\) mit einem \(p>0\)

Nun schätzt du mit der Binomialformel ab:

\((1+p)^n =\sum_{k=0}^{n}\binom nkp^k > \binom n2 p^2\) für \(n\geq 2\)

Also

\(n\frac{2^n}{e^n}=\frac n{(1+p)^n}< \frac n{\binom n2 p^2} \stackrel{\binom n2 = \frac{n(n-1)}{2}}{=} \frac 2{(n-1)p^2}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 0\)

Answer 2

lim (n → ∞) n·(2^n / e^n) = lim (n → ∞) n·(2/e)^n

Die Exponentialfunktion strebt schneller gegen 0 als die Potenzfunktion gegen unendlich. Damit ist der Grenzwert 0.

Das wäre die Begründung für Schüler. Ansonsten könnte man die Regel von L'Hospital anwenden.

lim (n → ∞) n / (e/2)^n --> lim (n → ∞) 1 / (LN(e/2)·(e/2)^n) = 0