Berechnen Sie das Lebesque Integral ∫fdµ.

Question

Aufgabe:

Sei Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} und sei µ : P(Ω) → R+ definiert durch

µ(A) = ∑                                   k für alle A ∈ P(Ω)

       k∈A

Sei f : Ω → R definiert durch x → 4 − x. Berechnen Sie das Integral ∫fdµ.

Problem/Ansatz:

Ansatz: Treppenfunktionen verwenden, sowie die Funktion f in einen positiven und negativen Teil trennen

Answer 1

Die Funktion \(f\) ist schon eine Treppenfunktion, denn

\(f = \sum_{k=1}^7f(k)\chi_{\{k\}}\),

wobei \(\chi_{\{k\}}\) die Indikatorfunktion der Menge \(\{k\}\) ist.

Damit gilt per Definition

\(\int f\;d\mu = \sum_{k=1}^7f(k)\underbrace{\mu(\{k\})}_{=1}\)

\(= \sum_{k=1}^7(4-k) = 28- \sum_{k=1}^7k = 0\)