Bestimmen Sie die Taylor-Approximation von f für n = 2 und x0 = 1.

Question

Aufgabe: Betrachten Sie die folgende Funktion f in impliziter Darstellung:

a)  Bestimmen Sie die Taylor-Approximation von f für n = 2 und x0 = 1.

b) Approximieren Sie Integral von 0 bis 2 f(x) dx mit Hilfe von (a).

$$( f ( x ) ) ^ { 5 } + ( x - 1 ) ^ { 2 } f ( x ) = x ^ { 2 }$$

Problem/Ansatz:

Also mein Problem ist ich habe keine Ahnung wie ich bei der Aufgabe anfangen soll.

Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht und bin gerade am verzweifeln. Habe so eine ähnliche Aufgabe leider auch nicht im Internet gefunden und hab diese Seite hier gefunden. Ich wäre sehr dankbar für einen Ansatz bzw. die Lösung falls die jemand hat.

Muss ich hier die Taylorformel nach F umstellen ? Weil in der Taylor Approximation steht doch T= f(x)+f'(x).

Answer 1

Für Taylor brauchst du ja

T₂(x) =   f(1) + f ' (1)*(x-1) + f ' ' (x) / 2  * ( x-1) ^2

Aus (f(x))^5  + (x-1) ^2 * f(x) = x^2   folgt

(f(1))^5  + (1-1) ^2 * f(1) = 1^2

(f(1))^5   = 1

f(1) = 1

und mit implizitem Differenzieren

  5 *   (f(x))^4  *  f ' (x)   + 2(x-1) * f (x)  + (x-1) ^2 * f ' (x)  = 2x #

und also für x=1

5 *   (f(1))^4  *  f ' (1)   + 2(1-1) * f (x)  + (1-1) ^2 * f ' (x)  = 2

5 *   (f(1))^4  *  f ' (1)   = 2    und wegen f(1)=1 also

                      f ' (1 ) = 2/5

Und # nochmal differenzieren

  5 * 4 * (f(x))^3  *  f ' (x) +    5 *(f(x))^4  *  f ' ' (x)   + 2f(x)  + 2(x-1) * f ' (x)  +2 (x-1) * f ' (x) + (x-1) ^2 * f ' ' (x)  = 2

und jetzt 1 einsetzen

  20 * (f(1))^3  *  f ' (1) +    5 *(f(1))^4  *  f ' ' (1)   + 2f(1)  + 2(1-1) * f ' (x)  +2 (1-1) * f ' (x) +  (1-1) ^2 * f ' ' (x)  = 2

  20 * (f(1))^3  *  f ' (1) +    5 *(f(1))^4  *  f ' ' (1)   + 2f(1)    = 2

f(1) und f ' (1) einsetzen

20 * 2/5   +  5 * f ' ' (1)  + 2 = 2

          8   + 5 * f ' ' (1) = 0

                f ' ' (1)  =   -8/5

also  T₂(x) =   1 + (2/5)*(x-1) + (-8/5) / 2  * ( x-1) ^2 
                =   1 + (2/5)*(x-1) + (-4/5) * ( x-1) ^2 

Comments

danke für die Antwort,

Ist das jetzt die Taylor-Approximation von f für n = 2 und x0 = 1 , oder nur die Implizierte Darstellung?

Wie gehe ich denn jetzt bei der a) bzw. b) vor?

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T wie Taylor !

Für b) integrierst du einfach das Taylorpolynom.

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Also für die a) die Funktion 2x Ableiten und 1 einsetzen bei beiden Funktionen?

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Statt Integral von 0 bis 2 f(x) dx approximierst du mit

Integral von 0 bis 2 über ( 1 + (2/5)*(x-1) + (-4/5) * ( x-1) ^2  )dx .

Die Idee bei Taylor ist doch: Das Taylorpolynom verläuft

ungefähr so wie die Funktion. Also ist das

Integral auch ungefähr so gross wie das bei der

Funktion.

Approximation = Annäherung

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d.h ich integriere einfach ( 1 + (2/5)*(x-1) + (-4/5) * ( x-1) 2  ) dx.

Bilde die Stammfunktion etc und setze dann die untere bzw. obere Grenze ein. ?

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Genau so ist das wohl gedacht.

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Wo genau setzt man f(1) und f'(1) ein ?