Taylor Approximation 2. Grades

Question

Aufgabe:

Taylor Approximation 2. Ranges mit ln(2x-1) für x0=1

Problem/Ansatz:

Habe zwar die Ableitungen richtig bekomme es aber nicht richtig zusammengerechnet

Comments

Was hast Du denn für Ableitungen?

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Also ich glaube das die richtig sind. Für f' x0 habe ich 2 und für f'' x0 habe ich -2

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\ln(2x-1)\implies f(1)=0$$$$f'(x)=\frac{2}{2x-1}\implies f'(1)=2$$$$f''(x)=-\frac{4}{(2x-1)^2}\implies f''(1)=-4$$Damit lautet die Taylor-Approximation:

$$f(x)\approx f(1)+f'(1)\cdot(x-1)+\frac12f''(1)\cdot(x-1)^2$$$$\phantom{f(x)}=0+2\cdot(x-1)+\frac12\cdot(-4)\cdot(x-1)^2$$$$\phantom{f(x)}=2(x-1)-2(x-1)^2$$

Comments

Wie kommst du auf die letzte Zeile und wie löst man das auf?

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Die Taylor-Formel ist dir noch klar?

Darin habe ich einfach alle vorab berechneten Werte eingesetzt.

Das könnte man jetzt noch weiter vereinfachen:$$\phantom{=}2(x-1)-2(x-1)^2=2(x-1)(1-(x-1))=2(x-1)(2-x)$$$$=2(2x-2-x^2+x)=-2x^2+6x-4$$

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Danke habe es jetzt verstanden!!