Aufgabe:
Taylor Approximation 2. Ranges mit ln(2x-1) für x0=1
Problem/Ansatz:
Habe zwar die Ableitungen richtig bekomme es aber nicht richtig zusammengerechnet
Was hast Du denn für Ableitungen?
Also ich glaube das die richtig sind. Für f' x0 habe ich 2 und für f'' x0 habe ich -2
Aloha :)
f(x)=ln(2x−1) ⟹ f(1)=0f(x)=\ln(2x-1)\implies f(1)=0f(x)=ln(2x−1)⟹f(1)=0f′(x)=22x−1 ⟹ f′(1)=2f'(x)=\frac{2}{2x-1}\implies f'(1)=2f′(x)=2x−12⟹f′(1)=2f′′(x)=−4(2x−1)2 ⟹ f′′(1)=−4f''(x)=-\frac{4}{(2x-1)^2}\implies f''(1)=-4f′′(x)=−(2x−1)24⟹f′′(1)=−4Damit lautet die Taylor-Approximation:
f(x)≈f(1)+f′(1)⋅(x−1)+12f′′(1)⋅(x−1)2f(x)\approx f(1)+f'(1)\cdot(x-1)+\frac12f''(1)\cdot(x-1)^2f(x)≈f(1)+f′(1)⋅(x−1)+21f′′(1)⋅(x−1)2f(x)=0+2⋅(x−1)+12⋅(−4)⋅(x−1)2\phantom{f(x)}=0+2\cdot(x-1)+\frac12\cdot(-4)\cdot(x-1)^2f(x)=0+2⋅(x−1)+21⋅(−4)⋅(x−1)2f(x)=2(x−1)−2(x−1)2\phantom{f(x)}=2(x-1)-2(x-1)^2f(x)=2(x−1)−2(x−1)2
Wie kommst du auf die letzte Zeile und wie löst man das auf?
Die Taylor-Formel ist dir noch klar?
Darin habe ich einfach alle vorab berechneten Werte eingesetzt.
Das könnte man jetzt noch weiter vereinfachen:=2(x−1)−2(x−1)2=2(x−1)(1−(x−1))=2(x−1)(2−x)\phantom{=}2(x-1)-2(x-1)^2=2(x-1)(1-(x-1))=2(x-1)(2-x)=2(x−1)−2(x−1)2=2(x−1)(1−(x−1))=2(x−1)(2−x)=2(2x−2−x2+x)=−2x2+6x−4=2(2x-2-x^2+x)=-2x^2+6x-4=2(2x−2−x2+x)=−2x2+6x−4
Danke habe es jetzt verstanden!!
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