Behälter für Öl. Wie muss er dimensioniert sein, sodass möglicht wenig Material verbraucht wird?

Question

Komme bei der Textaufgabe nicht weiter.

Aufgabe:

Ein zylinderförmiger Behälter soll einen Liter Öl fassen. Der Behälter ist oben und unten komplett geschlossen. Wie müssen Höhe und Radius dimensioniert sein, sodass möglicht wenig Material verbraucht wird?

Problem/Ansatz:

Was muss ich hier rechnen?

Answer 1

Ein Zylinder mit gegebenem Volumen soll eine minimale Oberfläche haben.

Nebenbedingung

V = pi·r^2·h
h = V/(pi·r^2)

Hauptbedingung

O = 2·pi·r·h + 2·pi·r^2
O = 2·pi·r·(V/(pi·r^2)) + 2·pi·r^2
O = 2·pi·r^2 + 2·V/r

Extremstellen O' = 0

O' = 4·pi·r - 2·V/r^2 = 0
4·pi·r^3 - 2·V = 0
4·pi·r^3 = 2·V
r = (V/(2·pi))^(1/3)

h = V/(pi·r^2) = V/(pi·((V/(2·pi))^(1/3))^2) = (4·V/pi)^(1/3) = 2·r