Sqrt(-3-4*j) mit der Definition der komplexen Wurzelfunktion berechnen ... ?

Question

Aufgabe:

$$z^2 = -3-4\cdot j$$

Problem/Ansatz:

Ich kenne die Defintion der komplexen Wurzel, jedoch weiss ich nicht wie ich das Argument mit der Argumentfunktion bestimmen soll, ohne den Arkustangens anzuwenden. Die komplexe Wurzel ist bei uns wie folgt definiert.  $$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\cdot {e}^{j\cdot \frac{arg(z)}{n}}$$

Dabei ist das Argument von z der Winkel $$\phi$$

Hoffe das mir dabei jemand helfen kann.

VG :)

Answer 1

ohne Arkustanges  ->dann so:

Answer 2

Es geht Dir ja darum, $$\frac {\arctan \frac{\Im(z^2)}{\Re(z^2)} }{2} = ?$$ zu berechnen. Du hast oben bereits geschrieben, dass $$\arg(z^2) = \arctan \frac{\Im(z^2)}{\Re(z^2)} = \phi $$ dann ist $$\frac {\arctan \frac{\Im(z^2)}{\Re(z^2)} }{2} = \frac {\phi}2$$ und nach den Additionstheoremen ist $$\tan \frac{\phi}{2} = \frac{1-\cos \phi}{\sin \phi}$$ und hier ist $$\tan \frac{\phi}{2} = \frac{1 - \frac{-3}{|z^2|}}{\frac{-4}{|z^2|}} = \frac{1 - \frac{-3}5}{\frac{-4}5} = -2$$ Das bedeutet aber auch, dass $$\frac{\Im(z)}{\Re(z)} = -2$$ sein muss. Weiter ist natürlich $$\Im(z)^2 + \Re(z)^2 = |z|^2=5 \\ \implies4 \Re(z)^2 + \Re(z)^2= 5 \\ \implies \Re(z) = \pm1; \quad \Im(z) = \mp 2$$ Die beiden Lösungen für \(z_{1,2}\) sind also $$z_1 = 1 - j \cdot 2; \quad z_2 = -1 + j \cdot 2$$ Gruß Werner

Comments

Ich habe eher gedacht das man das Argument ohne den Arkustanges von Imaginär durch Realteil bestimmen kann. Da ich hier nicht den Taschenrechner verwenden darf.

Deswegen hatte ich die Aufgabenstellung so formuliert gehabt.

VG :)