Wurzeln von komplexen Zahlen. Gleichung: z^4 * sqrt(2) = 1 + j wie kann man das lösen?

Question

für z müssen 4 Lösungen rauskommen

eine hab ich ich schon: cos(pi/16)+sin(pi/16)*j

jetzt fehlen mir nur noch drei

ich bitte um Hilfe   :)

Answer 1

Die Lösungen von z^4 = 1/√2 * (1+j) müssen alle auf einem Quadrat um den Koordinatenursprung z=0 liegen.

Daher ausgehend von deinem

z1 = cos(pi/16)+sin(pi/16)*j

z2 = cos(pi/16 + π/2)+sin(pi/16 + π/2 )*j

z3 = cos(pi/16 + π )+sin(pi/16 + π)*j

z4 = cos(pi/16 + 3π/2)+sin(pi/16+ 3π/2)*j

Du kannst nun bestimmt die Ausdrücke in den Klammern noch mit Hilfe von Bruchaddition zusammenfassen, falls das gewünscht ist.

Zur Kontrolle noch in den Taschenrechner eingeben und mit den 'approximate results' hier https://www.wolframalpha.com/input/?i=+z%5E4+%3D+1%2F√2+*+%281%2Bi%29 vergleichen.