Komplexe Zahlen. Gebe alle Lösungen von z^4= i -1 in Polarkoordinatendarstellung an

Question

mach gerade eine Übung un komme nicht weiter:

Gebe alle Lösungen z ∈ ℂ der Gleichung

z⁴= i -1        in  Polarkoordinatendarstellung an.

 

So: Das ist ja jetzt eine Kreisgleichung, woran erkenne ich diese? Und ich bräuchte einen gut verständlichen Lösungsweg.

 

Answer 1

Hi,

z = -1+i = a+bi

r = |z| = √((-1)^2 + 1^2) = √2

α = arctan(b/a) = arctan(-1/1) = -π/4

φ = α+π = 3π/4 (entspricht 135°)

 

z^4 = √2*e^{3π/4*i}

z = 2^{1/8} * e^{i(3π/4 + 2kπ)/4}

mit k = 0,1,2,3

 

z₁ = 2^{1/8} * e^i(3π/4)/4 = 2^{1/8} * e^(3π/16*i)

z₂ = 2^{1/8} * e^{i(3π/16 + 1/2π)}

z₃ = 2^{1/8} * e^{i(3π/16 + π)}

z₄ = 2^{1/8} * e^{i(3π/16 + 3/2*π)}

 

Das obige kann man nun noch in Cosinus und Sinus umschreiben und dann wieder in kartesischen Koordinaten, falls gewünscht.

Beim Umschreiben in Cosinus und Sinus, fällt auch der Teil mit der Kreisgleichung auf ;).

 

Grüße

Comments

Da ist ein Fehler drin,  Du musst arctan(1/-1)rechnen

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Danke für den Hinweis. Lass es grad so stehen. Ist oben ja nicht falsch, aber war wohl falsch gemeint :P.