Komplexe Zahl z bestimmen. z^4 = −1/2 + (√3/2)*i.

Question

 Bestimmen Sie alle z ∈ C, für die gilt: z^4 = −1/2 + (√3/2)*i.

Ich muss ja die 4. Wurzel ziehen, um nach z auflösen zu können, also:

z = ⁴√(−1/2+(√3/2)*i)

Wie fahre ich nun am besten fort?

Answer 1

| −1/2 + (√3/2)*i | = wurzel( (1/4) + (3/4) ) = 1 also ist der Betrag 1 und

du kannst es in der Form cos(x) + i*sin(x) schreiben mit

x = arctan (  (√3/2)   /    ( 1-/2)  )   = - pi/6

stimmt nicht. Richtig ist 2*pi/3  siehe Kommentar!!!

Also hat z^4 mit der pos. reellen Achse einen Winkel von - pi/6

bzw. (11/6)*pi und dann jeweils  +2*n*pi

Um alle 4.Wurzeln zu finden, nimmst du immer ein Viertel des Winkels,

also  1/4  von  (11/6)*pi  =  (11/24)*pi

und  1/4  von ( (11/6)*pi + 2pi) = (23/24)*pi

etc.  (35/24)*pi   und  (47/24)*pi.

also sind die 4 Lösungen deiner Gleichung

z1= cos(  (11/24)*pi   )   +   i *  sin (  (11/24)*pi ) 

z2= cos(  (23/24)*pi   )   +   i *  sin (  (23/24)*pi )  etc.

Comments

Du solltest mal die Probe machen.Ich denke, deine Formel in der dritten Zeile ist falsch.

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Oh danke, das muss dann wohl zum einen pi/3 sein und wegen

der Lage im 2. Quadranten 2pi/3 .

Ich mache einen Vermerk.

Answer 2

Komplexe Zahlen bestimmen

Answer 3

 

z⁴ = −1/2 + (√3/2)*i. = r • ( cos(φ) + i • sin(φ) ) →  z_1 = ⁴_√ r • ( cos(φ/4) + i • sin(φ/4) ) 

r = √( (-1/2)² + (√3/2)² ) = √ ( 1/4 + 3/4 ) = 1

φ = arccos (-1/2) ≈ 2,0944

Die Winkel in folgenden Formeln ergeben sich aus  φ/4 + k • π/2  [k = 0,1,2,3]:

→   z₁  =  cos( 0,5236) + i • sin( 0,5236)   =  0,866 + 0,5 • i

       z₂  =  cos(2,0944 ) + i • sin( 2,0944)   =  - 0,5 + 0,866 • i

       z₃  =  cos(3,6652) + i • sin(3,6652)     =  - 0,866  - 0,5 • i

        z₄ =  cos( 5,236) + i • sin(5,236) )       =  0,5  - 0,866 • i 

Gruß Wolfgang