Implizierte Funktionen in 2 Variablen

Question

Hallo...

Ich verstehe die Vorgehensweise bei einem Beispiel nicht und ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen:

Gegeben ist die Funktion f(x,y)=e^x+e^y+x+y-2=0 und es existiert(ξ,η)=(0,0)

Die Frage lautet jetzt ob man f(x,y) in einer Umgebung (0,0) nach x auflösen kann und ob eine Kurve x=x(y) im ℝ² existiert.

Ich hoffe jemand kann mir das erklären. Ich hab zwar die Lösung dazu aber kann das nicht ganz nachvollziehen.

Comments

1. Implizit oder impliziert ? 

2. Ich verstehe nicht genau, was du mit dieser Gleichungskette bezweckst.

 f(x,y)=e^x+e^y+x+y-2=0 

Der 2. Teil zeigt einen etwas abstrusen Plot. 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5Ex%2Be%5Ey%2Bx%2By-2%3D0

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Nja die Gleichung ist gegeben und ich soll beantworten ob man f(x,y) in einer Umgebung (0,0) nach x auflösen kann.

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Wenn ihr so eine Aufgabe gestellt bekommt, dann müsstet ihr doch in der Vorlesung den Satz über die implizite Funktion bewiesen haben? Versuch den mal anzuwenden.

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Ok der Hauptsatz über implizierte Funktionen besagt das die partiellen Ableitungen in einer Umgebung stetig sind und diese ungleich null sind. Das hab ich überprüft. In der Lösung steht dann allerdings noch ein Satz der mich verwirrt: Es gibt eine Funktion von h die  U_y(0) auf U_x(0) abbildet mit x=h(y) und x=x(y)

f(x(y),y)=0⇔ e^x(y)+e^y+x(y)+y-2=0

Ich verstehe nicht ganz wie das gemeint ist bzw. wie ich aus dem Satz über implizierte Funktionen darauf schließen kann?