Untersuchung einer Funktion auf Stetigkeit in einem Intervall

Question

Also bei a) komme ich leider überhaupt nicht voran ich hoffe hier kann mir jemand weiterhelfen. Wir haben mehrere Seminaraufgaben zu lösen die ähnlich der a sind. Diese Aufgabe soll sehr einfach sein leider bekomme ich es nicht hin ich wäre sehr froh wenn jemand weiterhelfen kann.

Bei b) habe ich einfach die Nullstellen im Intervall -2,2 bestimmt ich hoffe das meint man mit zeigen sollte das nicht der richtig Ansatz sein, könnte mir vielleicht nochmal jemand einen kleinen Denkanstoß geben.

Answer 1

a) wähle als Folgen a_n=1/n und b_n=-1/n mit limes n --> ∞  a_n  = limes n --> ∞  b_n = 0

lim n --> ∞ f(a_n)=lim n --> ∞ 2-1/n*sqrt(1+4n^2)=lim n --> ∞ 2-sqrt(1/(n^2)+4)=2-2=0

 lim n --> ∞ f(b_n)= lim n --> ∞ 2+1/n*sqrt(1+4n^2)=lim n --> ∞ 2+sqrt(1/(n^2)+4)=2+2=4

Somit ist die Funktion in 0 unstetig.

b)

f(x) ist ein Polynom und somit stetig auf dem Intervall [-2,2]

Berechne f(-2) ; f(-1) ; f(0) ; f(1) ; f(2)

               -55/3 ;  16/3 ; -3  ; 8/3, -11/3

Wie du siehst, ändert sich das Vorzeichen bei jedem Funktionswert. Der Zwischenwertsatz sagt nun aus, das für jedes Teilintervall ein x_i ∈ ℝ existiert, so dass f(x_i)=0. Das sind genau 4 x_i.

Comments

Also a habe ich nun verstanden wie es geht bei der b müsste ich zuerst beweisen, dass die Funktion stetig ist und dann kann ich den Zwischenversatz anwenden. Das bedeutet, dass die 4 Nullstellen jeweils eine zwischen einem postiven und einem negativen Wert liegen also zwischen den 5 berechneten werten liegen. Die Funktion hat an sich 5 Nullstellen, wovon aber nur 4 im Intervall -2,2 liegen.

Answer 2

Zu a) Du kennst ja sicher schon jede Menge stetiger Funktionen und weisst,. wie man aus stetigen Funktionen mit den Operationen +, -, *, / und ° wieder stetige Funktionen zusammenbastelt. Das sollte die Frage für x ≠ 0. erledigen. Fuer x = 0 ist Handarbeit angesagt. Benutze das Grenzwertkriterium für Stetigkeit.

Zu b) Da steht, dass Du die Existenz von genau vier Nullstellen in [-2, 2] nachweisen sollst. Ausrechnen kannst Du die doch gar nicht. Benutze den Nullstellensatz für stetige Funktionen.

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Man kann die Nullstellen selbstverständlich berechnen. Das Polynom 5. Grades hat insgesamt 5 Nullstellen. diese lauten wie folgt: √3; -√3; 1/√3; -1/√3; 3;