Intervall Stetigkeit mit offener Umgebung U mit positiven Funktionswerten?

Question

könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen?

ich weiß, dass ich das epsilon Delta Kriterium anwenden muss, aber ich das hilft mir nichts...

Anscheinend soll man epsilon f(x)/2 wählen, aber danach komm ich einfach nicht  weiter.

Würde mich echt über Hilfe freuen.

Answer 1

Benutze \(p(x)-p(y)\le\lvert p(y)-p(x)\rvert\), was aus \(x\le|x|=\lvert-x\rvert\) folgt, und dann den Tipp mit \(\epsilon=p(x)/2\).

Comments

Und was ist mit dem Deltav

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Da \(p\) an der Stelle \(x\) stetig ist, gilt $$p(x)-p(y)\le|p(y)-p(x)|<\frac{p(x)}{2}$$ für alle \(y\) aus einer geeigneten \(\delta\)-Umgebung von \(x\).

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Kann ich es also so aufschreiben:

∀ε>0∃δ>0∀x∈D\{x0}:|x−x0|<δ⇒|f(x)−a|<ε

Und dann deine obige Erklärung

-> epsilon=p(x)/2

Und dann die Erklärung für Delta

Also p(x)/2 < Delta

 

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Ueber das \(\delta\) kannst Du nichts Naeheres sagen, ausser dass ein geeignetes \(\delta>0\) nach Definition der Stetigkeit eben existiert. Sagen sollst Du was ueber \(p(y)\) für \(y\in B_\delta(x)\). Dazu musst Du die angeschriebene Ungleichung eben nach \(p(y)\) umstellen: \(p(y)>p(x)/2\).

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Also einfach nur f(y)>f(x)/2 reicht um zu zeigen, dass es ein offenes Intervalk gibt?

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Vielleicht solltest Du Dir in eigenen Worten mal klarmachen, was die Voraussetzungen sind, und was behauptet wird. Man kann da auch eine Skizze zu machen, insbesondere zu dem \(\epsilon=p(x)/2\)-Trick.

Ein Beweis ist dann eine Folge von Argumenten, mit denen sich die Behauptung aus den Voraussetzungen ergibt. Die Argumente sollten vor allem Dich selber ueberzeugen.

Alle Einzelteile für den Beweis stehen inzwischen hier in diesem Thread.

Wenn Du etwas formuliert hast, kannst Du es ja hier posten.