Ungleichung mit dem Betrag: | (x-1)/(x+2) | < 1.

Question

Hi leute. Haben Sie Zeit,um diese Frate zu beantworten ? Bitte helfen Sie mir.

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Die Spam-Deklarationen für meine vorherige Rückfrage "Welche Frage denn?" sind, wie fast immer, unangemessen.Es wäre nämlich schön gewesen, wenn der Themenstarter auch tatsächlich seine Fragen zur vorgelegten Ungleichung mitgeteilt hätte. Vielleicht hätte er auch noch die folgenden Zeilen seines Blattes, die offenbar den Anfang der Rechnung darstellen, nachreichen können.

Aber vielleicht kann er es ja jetzt noch tun!

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Für einen logisch denkenden Menschen, ich hoffe der ein oder andere
Mathematiker ist dies, steht in der Fragestellung eine Aufgabe.

Mich hat dies direkt inspiriert die Lösungsmenge zu ermitteln.

Die Gegenfrage " Wat will du " ist mir nicht in den Sinn gekommen.

Answer 1

Die Ungleichung wird von allen reellen Zahlen, die näher bei \(1\) als bei \(-2\) liegen, erfüllt.

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EDIT: Das ist natürlich eleganter, als Fallunterscheidungen durchzurechnen. Also: Mitte zwischen -2 und 1 bestimmen ( (-2+1)/2  = -1/2)  und dann alles rechts davon nehmen. L = { x | x >  -1/2} . Fertig. 

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Hier einmal ein Rechengang



~plot~ abs (( x  -1 ) / ( x + 2 )) - 1 ~plot~

Alles unterhalb der x-Achse gehört zur Lösungmenge.

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Danke sehr für Ihre Antwort. Ich verstehe. Und die lösung nur x größer als -1/2

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Ja.
Falls du andere / weitere Fragen hast dann wieder einstellen.

Answer 2

 | (x-1)/(x+2) | < 1  , x ≠ -2

 | (x-1)|/|(x+2) | < 1

 | (x-1)|< | (x+2) |   , x≠-2

1. Fall x≥ 1

x-1 < x+2

-1 < 2 immer erfüllt.   ==> L1 = {x| x≥1 }

2. Fall -2 < x < 1

-(x-1) < x+2

-x + 1 < x+2

-1 < 2x

-1/2 < x   ==> L2 = { x| -1/2 < x < 1}

3. Fall x<-2

-(x-1) < -(x+2)

-x + 1 < - x - 2

1 < -2 stimmt NIE.

==> Keine weitere Elemente der Lösungsmenge.

Zusammenfassung.

L = L1 u L2 = {x | x> -1/2 }

So passt es auch zum Plott;

~plot~ abs( (x-1)/(x+2)); 1; x=-0.5~plot~

Demgemäss wäre L = {x | x > -1/2 } 

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Danke schön. Das bedeutet die lösung nur x größer als -1/2

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Ja. Die Lösungsmenge L ist die Menge aller reellen Zahlen, die grösser als Mins ein Halb sind, vorausgesetzt, dass du überhaupt als Grundmenge die reellen Zahlen zu betrachten hattest.

Und wie gesagt, die andere Antwort war eleganter, da man rein geometrisch auf x > -1/2 kommen kann.

Ausserdem kann man die geometrische Überlegung 1:1 in die komplexe Zahlenebene übertragen. Wenn du dann mal so was lernst, muss man einfach die Halbebene rechts von der Vertikalen Linie bei x = -1/2 schraffieren (ohne Rand).