Aloha :)
$$\left.3\left|x^2-3\right|<x\,\left|x+\sqrt3\right|\quad\right|\quad\text{3-te binomische Formel links}$$$$\left.3\left|(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)\right|<x\,\left|x+\sqrt3\right|\quad\right|\quad|a\,b|=|a|\,|b|$$$$\left.3\left|x-\sqrt3\right|\,\left|x+\sqrt3\right|<x\,\left|x+\sqrt3\right|\quad\right.$$Für \((x=-\sqrt3)\) ist \(|x+\sqrt3|=0\) und die Ungleichung wird zu \(0<0\), was sicher nicht erfüllt ist. Schließen wir dieses \(x\) im Folgenden aus, fordern also \(x\ne-\sqrt3\), so ist \(|x+\sqrt3|>0\) und wir können beide Seiten durch diesen Term dividieren, ohne dass sich das Relationszeichen ändert:$$\left.3\left|x-\sqrt3\right|<x\quad\right|\quad:\,3$$$$\left.\left|x-\sqrt3\right|<\frac{x}{3}\quad\right.$$Da der Betrag auf der linken Seite stets \(\ge0\) ist, existieren nur Lösungen, wenn die rechte Seite \(>0\) ist [beachte, dass \(=0\) nicht geht, weil \(0\not<0\) ist]. Daher muss \(\frac{x}{3}>0\) bzw. \(x>0\) gelten. Diese Forderung schließt die von oben, nämlich \(x\ne-\sqrt3\), mit ein. Sei ab jetzt also \(x>0\). Wir lösen die Betragsfunktion auf:$$-\frac{x}{3}<x-\sqrt3<\frac{x}{3}\quad;\quad x>0$$Wir addieren \(\frac{x}{3}+\sqrt3\) und vereinfachen zu:$$\sqrt3<\frac{4}{3}x<\frac{2}{3}x+\sqrt3\quad;\quad x>0$$Das erste Kleiner-Zeichen liefert uns als Bedingung:$$\sqrt3<\frac{4}{3}x\implies x>\frac{3\sqrt3}{4}$$Das schließt insbesondere unsere bisherige Forderung \(x>0\) mit ein. Das zweite Kleiner-Zeichen liefert uns als Bedingung:$$\frac{4}{3}x<\frac{2}{3}x+\sqrt3\implies\frac{2}{3}x<\sqrt3\implies x<\frac{3\sqrt3}{2}$$Fassen wir beide Forderungen zusammen, erhalten wir als Lösungen:$$\boxed{x\in\left(\frac{3\sqrt3}{4}\;;\;\frac{3\sqrt3}{2}\right)}$$
~plot~ 3*abs(x^2-3) ; x*abs(x+sqrt(3)) ; x=3*sqrt(3)/4 ; x=3*sqrt(3)/2 ; [[-3|4|-2|15]] ~plot~
