Minimale Außenfläche einer Boje bestimmen!

Question

Eine Boje besteht aus einem zylindrische Mittelteil und 2 gleichen aufgesetzten Kegeln. Mantellinie jedes Kegels 5 dm und Volumen des zylindrischen Mittelteils 45*Pi dm^3.

Berechne Radius und Höhe des zylindrischen Mittelteils, so das die Außenfläche der Boje minimal wird!

Answer 1

Volumen des zylindrischen Mittelteils 45*Pi dm³. = r^2 * h * pi

                                  also  h =  45 / r^2 

Zylindermantel 2*r*pi * h

Kegelmantel  pi * r * s also Mantel der Boje

M = 2*  pi * r * s   + 2*r*pi * h   mit     h =  45 / r^2  und s = 5

M = 10*  pi * r   + pi*90/r    = M(r)

M ' (r) = 10pi - 90pi/r^2 also gleich 0 für r=3.

optimaler Radius 3dm und Höhe  h = 45 / r^2  = 5 dm