Bestimmung von extremwerten

Question

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Aufgabe 8. (11 Punkte) - Bestimmung von Extremwerten -
Gegeben sei die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \), definiert durch
\( f(x, y)=5-x^{2}-\frac{y^{2}}{2} . \)
(a) (5 Punkte)
(i) (3 Punkte) Bestimmen Sie die Kandidaten für Extremstellen der Funktion \( f \) unter der Nebenbedingung
\( \varphi(x, y)=x+y-2=0 \)
mithilfe der Methode der Lagrange-Multiplikatoren.
(ii) (2 Punkte) Überzeugen Sie sich mithilfe des Einsetzungsverfahren davon, dass es sich bei den Kandidaten aus Teil (a) tatsächlich um lokale Extremstellen der Funktion \( f \) unter der gegebenen Nebenbedingung handelt.
(b) (6 Punkte) Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion \( f \) auf dem Bereich
\( D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1-x\right\} . \)

Skizzieren Sie hierfür zunächst den Bereich \( D \) in der Ebene.

Aufgabe:

Comments

Hallo

kannst du genauer sagen, was du nicht kannst, die Ableitungen der Funktion mit den Langrage Teil sind doch eigentlich nicht schwer. das Gebiet S auch leicht zu sehen?

lul

Answer 1

(i)

Zielfunktion(Hauptbedingung):

\( f(x, y)=5-x^{2}-\frac{y^{2}}{2}  \) soll extremal werden.

NB:

\( \varphi(x, y)=x+y-2=0 \)

\( f(x, y,λ)=5-x^{2}-\frac{y^{2}}{2}+λ\cdot(x+y-2)  \)

\( f'_x(x, y,λ)=-2x+λ \)      →1.)\( -2x+λ=0 \)

\( f'_y(x, y,λ)=-y+λ  \)        →2.)\( -y+λ=0 \)

\( f'_λ (x, y,λ)=x+y-2  \) → 3.)\(x+y-2=0  \)

1.)  -2.):

\(-2x+y=0\) → \(y=2x\)   ∈ 3.)\(x+2x-2=0  \)  →\(x=\frac{2}{3} \)      \(y=\frac{4}{3}\)