Extremwertproblem, Bestimmung der Zielfunktion

Question

Aufgabe: Gesucht ist ein rechtwinkliges Dreieck, das einen Umfang von 60 cm hat und dessen Fläche extremal ist.

Mein Ansatz:

Hauptbedingung: A(a,b)= (a*b)/2

Nebenbedingung: a+b+c = 60

Zielfunktion: ...

Answer 1

Hauptbedingung: A(a,b)= (a*b)/2
Nebenbedingung: a+b+c = 60

Mit c = √(a² + b²)   ergibt sich aus G2

....

b = 60·(a - 30)/(a - 60)     [G3]  

und damit   A(a) = 30·(a^2 - 30a)/(a - 60)         [nach Kommentar editiert]

                  A'(a) = 30·(a^2 - 120·a + 1800)/(a - 60)^2 = 0

                        a² - 120·a + 1800 = 0

               pq-Formel  →  a = 60 - 30·√2   [ ∨ a = 30·√2 + 60 > Umfang entfällt ]

                                       a ≈ 17,57  [cm]

                        [  A' hat dort einen Vorzeichenwechsel von + → -  →  Maximum ]

Durch Einsetzen von a ergeben sich oben direkt   b = a   und  c = a · √2

Gruß Wolfgang

Comments

Ich glaube du hast, vergessen die Zielfunktion noch mit 0,5 zu multplizieren.

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Stimmt, danke für den Hinweis.

Erfreulicherweise ändert sich an der weiteren Rechnung dadurch nichts Es spielt nur eine Rolle, wenn der maximale Flächeninhalt explizit berechnet wird.

Habe das in der Antwort korrigiert.

Answer 2

Tipp:Da es rechtwinklig ist weißt du auch, dass a hoch2 plus b hoch2 gleich c hoch 2 ergeben müssen.

Comments

Das weiß ich ja schon, danke trotzdem, aber wie lautet jetzt die Zielfunktion ? Ich weiß, dass man Neben- in Hauptbedingung einsetzen muss aber weiter komme ich nicht

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Liest du eigentlich die Antworten langsam und gründlich. Wolfgang hat dir langsam erklärend die ganze Lösung hingeschrieben, was hast du daran denn nicht verstanden? dann frag genau nach!

lul