500 Studenten, 100 Interessen, 5 auswählen - Stochastik?

Question

Hallo liebe Mathe Gemeinde,

ich habe in der Uni ein Projekt am laufen, in dem es um eine App geht. Hier können Studenten Interessen angeben. Anhand von gleichen Interessen, werden so Matches gebildet. 1, 2, 3, 4 oder bestenfalls 5. Das wäre dann ein Supermatch.

Was ich einfach nicht verstehen. Wie kann ich ausrechnen wie hoch die Wahrscheinlichkeit für so ein Supermatch ist ??

Bsp:

-Ich habe 500 Studenten

- es gibt 100 versch. Interessen zum Auswählen

- JEDER muss 5 Interessen für sich festlegen

? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit jemand 5, 4,3,2,1 Interessen gemeinsam zu haben?

Answer 1

Es gibt \( \begin{pmatrix}100\\5\end{pmatrix} = 75287520 \) Möglichkeiten, 5 Interessen auszuwählen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand genau meine Interessen ausgewählt hat, ist also \( \frac{1}{75287520} \).

Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand meine Interessen nicht ausgewählt hat, ist also \( 1-\frac{1}{75287520} = \frac{75287519}{75287520} \).

Die Wahrscheinlichkeit, dass keiner meiner 499 Mitstudenten meine Interessen ausgewählt hat, ist  \( \left(\frac{75287519}{75287520}\right)^{499} \).

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer meiner 499 Mitstudenten meine Interessen ausgewählt hat, ist \( 1- \left(\frac{75287519}{75287520}\right)^{499} \approx 6,6\cdot 10^{-6} \).