monoton wachsend in jeder Koordinate zeigen für: F(x,y) = 1- e^{-x-y} , mit x,y > 0

Question

Sei F(x,y) = 1- e^-x-y , mit x,y > 0

Beweisen Sie

a) F ist in jeder Koordinate monoton wachsend

b) F ist keine Verteilungsfunktion einer zweidimensionalen Zufallsvariable

,

b) habe ich schon gezeigt, dass F keine Verteilungsfunktion ist da für x↦ -∝ ≠ 0 ist.

aber wie kann ich a) zeigen ??

vl kann mir jemand ein paar Tipps geben, würde mich über jede Hilfe freuen.

Comments

> keine Verteilungsfunktion ist da für x↦ -∝ ≠ 0 ist.

x → -∞ interssiert nicht, weil alle x < 0 außerhalb des Definitionsbereiches liegen.

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ohhh danke das habe ich übersehen.. 

muss ich jt x -> 0 anschauen ?? da für alle y ≠ 0  lim F ≠ 0 ist ? stimmt so ? 

Answer 1

>   a) F ist in jeder Koordinate monoton wachsend

F: ℝ² → ℝ ,  der Funktionswert ist also eine Zahl.

"in jeder Koordinate" streng monoton wachsend soll deshalb vermutlich Folgendes bedeuten:

Hält man y = a konstant, dann gilt:  x₁ < x₂  ⇒  F(x₁ , a)  < F(x₂ , a)    und 

Hält man x = a  konstant, dann gilt:  y₁ < y₂  ⇒  F(a , y₁)  < F(a , y₂) 

Wegen  δF / δx (x,y) =  δF / δy (x,y) = e^-x-y > 0  für alle (x,y) ∈ ℝ²   ist das wahr.   

[ δF / δx  und  δF / δy sind partielle Ableitungen ]

Gruß Wolfgang

Comments

danke für deine Hilfe, du hast mir wirklich weiter geholfen :).... und ist b) so richtig ?