Ist der Schätzer Erwartungstreu?

Question

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Ich habe folgenden Schätzer gegeben: X_quer = 2/(n*(n+1))*(1+X₁+2X₂+.....+n*X_n)

Für die Grundgesamtheit gilt der Erwartungswert Μ

Jetzt soll ich prüfen, ob der Schätzer erwartungstreu ist und wenn nicht, wie groß der BIAS ist.

Kann mit vielleicht jemand helfen? Wie gehe ich vor? Kann vielleicht jemand die vorgehnsweise anhand der Aufgabe erkären?

Answer 1

ich nehme mal an, dass die \( X_i \) identisch und unabhängig verteilt sind.

Ohne die \( 1 \) in der Summe wäre

\( \mathbb{E}[\bar{x}] = \mathbb{E}\left[ \frac{2}{n(n+1)}\sum_{i=1}^{n} iX_i \right] \)

\( = \frac{2}{n(n+1)} \sum_{i=1}^{n} i \mathbb{E}[X] \)

\( = \frac{2}{n(n+1)} \frac{n(n+1)}{2} M = M \).

Dieser Schätzer wäre also erwartungstreu.

Durch die \( 1 \) gilt

\( \mathbb{E}[\bar{x}] = \mathbb{E}\left[ \frac{2}{n(n+1)}(1+\sum_{i=1}^{n} iX_i) \right] \)

\( = \dots = \frac{2}{n(n+1)} + M \).

Dieser Schätzer ist nicht erwartungstreu, der Bias ist

\( \mathbb{E}[\bar{x}] - M = \frac{2}{n(n+1)} \).

Mister

Comments

erstmal Danke für die doch relativ schnelle Antwort!

Aber was ich mich gerade noch frage: wo ist die 1 von vor der Summe geblieben?

X_quer = 2/(n*(n+1))*(1+X₁+2X₂+.....+n*X_n)

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Stimmt, die 1 muss man berücksichtigen. Kurze Gedenkzeit bitte...

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Ich habe die Antwort verändert, sodass sich jetzt ein mit positivem Bias nicht-erwartungstreuer Schätzer ergibt.

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Jetzt ist mir einiges klarer! Jetz weiß ich, wie man Erwartungstreu überprüft.

Die Aufgabe gibt nun zwei weitrer Schätzer vor, die beide Erwartunsgtreu sind. Unter anderem:

T1: X_quer = 1/n * ∑_i=1ⁿ X_i
T2: X_quer = 1/4*(X₁+X₂+X_n-1++X_n)

Diese sollen nun mithilfe der Varianz(en) verglichen werden. Wie berechne ich denn diese? Mit würde es wieder am Beispiel eines Schätzers reichen.

Nochmal vielen vielen Dank für eure SUPER HILFE!

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Wie berechnet man die Varianz einer Zufallsgröße? Du musst den Schätzer wie eine Zufallsgröße behandeln.

Da die \( X_i \) identisch und unabhängig verteilt sind, kann man für die Varianz der Summe der Zufallsvariablen auch die Summe der Varianzen verwenden:

\( \text{Var}(\bar{x}) = \text{Var}\left( \frac{1}{n} \sum X_i \right) \)

\( = \frac{1}{n^2} \sum \text{Var}(X_i) = \frac{1}{n} \text{Var}(X_i) \)

und

\( \text{Var}(\bar{x}) = \text{Var}\left( \frac{1}{4} (X_1 + X_2 + X_{n-1} + X_n) \right) \)

\( = \frac{1}{16} \left( \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) + \text{Var}(X_{n-1}) + \text{Var}(X_n) \right) = \frac{1}{4} \text{Var}(X_i) \).

Du siehst: Die erste Varianz sinkt mit steigendem Stichprobenumfang. Die zweite Varianz ist unabhängig vom Stichprobenumfang konstant.

Dieser Fakt würde dem ersten Schätzer wohl Vorzug vor dem zweiten verschaffen.