$$ \mathbb{E} (\hat{\Theta}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(x_i) $$
$$ \mathbb{E}(x_i) = \int_{\Theta-\frac{1}{2}}^{\Theta+\frac{1}{2}} x dx = \Theta $$ also
$$ \mathbb{E} (\hat{\Theta}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \Theta = \Theta $$
Also ist der Schätzer erwartungstreu.
Falls bei einem erwartungstreuen Schätzer die Varianz gegen \( 0 \) konvergiert, ist sie auch konsistent.
$$ \mathbb{Var} ( \hat \Theta ) = \mathbb{E} \left\{ \left( \hat \Theta - \Theta \right)^2 \right\} = \mathbb{E} \left\{ \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i - \Theta \right)^2 \right\} = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \mathbb{Var}(x_i) $$
$$ \mathbb{Var}(x_i) = \int_{\theta-\frac{1}{2}}^{\Theta+\frac{1}{2} x^2 dx } = \Theta^2 + \frac{1}{2} $$
Alos $$ \lim_{n\to\infty} \mathbb{Var} (\hat \Theta) \to 0 $$