Erwartungstreue und Konsistenz - ist der Schätzer … erwartungstreu/konsistent?

Question

Aufgabe:

Seien \( X_{1}, \ldots, X_{n} \sim \mathrm{U}\left(\theta-\frac{1}{2}, \theta+\frac{1}{2}\right) \) u.i.v. Zufallsvariablen. Ist der Schätzer

\( \hat{\theta}\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right):=\bar{X}_{n} \)
für \( \theta \in \mathbb{R} \)

(i) erwartungstreu?

(ii) konsistent?

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Problem/Ansatz:

Ich habe leider keinerlei Idee wie ich diese Aufgabe lösen soll. Könnte mir jemand behilflich sein? Liebe Grüße und vielen Dank im Voraus

Dustin :(

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Erwartungstreue und Konsistenz eines Schätzers

Stichworte: erwartungswert,schätzer,zufallsvariable

Aufgabe:

Seien \( X_{1}, \ldots, X_{n} \sim \mathrm{U}\left(\theta-\frac{1}{2}, \theta+\frac{1}{2}\right) \) u.i.v. Zufallsvariablen. Ist der Schätzer

\( \widehat{\theta}\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right):=\bar{X}_{n} \)
für \( \theta \in \mathbb{R} \)

(i) erwartungstreu?

(ii) konsistent?

Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Answer 1

$$ \mathbb{E} (\hat{\Theta}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(x_i) $$

$$ \mathbb{E}(x_i) = \int_{\Theta-\frac{1}{2}}^{\Theta+\frac{1}{2}} x dx = \Theta $$ also

$$ \mathbb{E} (\hat{\Theta}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \Theta = \Theta $$

Also ist der Schätzer erwartungstreu.

Falls bei einem erwartungstreuen Schätzer die Varianz gegen \( 0 \) konvergiert, ist sie auch konsistent.

$$ \mathbb{Var} ( \hat \Theta ) = \mathbb{E} \left\{ \left( \hat \Theta - \Theta \right)^2 \right\} = \mathbb{E} \left\{ \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i - \Theta \right)^2 \right\} = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \mathbb{Var}(x_i) $$

$$ \mathbb{Var}(x_i) = \int_{\theta-\frac{1}{2}}^{\Theta+\frac{1}{2} x^2 dx } = \Theta^2 + \frac{1}{2} $$

Alos $$ \lim_{n\to\infty} \mathbb{Var} (\hat \Theta) \to 0 $$