lebesgue integrierbare funktionen

Question

1. Zeigen Sie für lebesgue integrierbares f: Rⁿ →[o,∞[

                                     ∫_Rⁿ f   =  ∫_R  | [f > t > 0] |  dt

wobei |A| das volumen einer Menge A ⊆ Rⁿ bezeichnet . 

Hinweis : Verwenden sie dass ℵ _{{(x,t) | f(x) > t > 0}}

 

2. Berechnen sie das volumen das der zylinder Z := {(x,y,z) ∈ R³  | x²+y² < 1/4} aus der einheitskugel  B₁(0)⊆ R³ ausschneidet, d.h. berechnen sie das volumen von Z ∩ B₁(0)

für hilfen wäre ich sehr dankbar ..

danke schonmal für alle hilfen

Answer 1

Das ist eine klassische Anwendung des Satzes von Fubini. Stell damit das Integral der angegebenen Indikatorfunktion auf zwei verschiedene Weisen dar.

Comments

sorry ich vertehs wirklich nicht was du damit meinst ..

gruß anna

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Dir ist im Hinweis eine Indikatorfunktion gegeben, welche auf ℝ² definiert ist.
Deren Integral (über die gesamte Ebene) kannst du mithilfe des Satzes von Fubini in Form von je zwei Doppelintegralen schreiben.

Je eines davon ist eine der Seiten der zu zeigenden Gleichung.

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aja also mein Integral sieht dann so aus

∫_Rⁿ f   =  ∫∫ℵ (x,t) dt dx

so oder

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Genau, wobei du rechts noch die Integrationsgebiete kennen solltest.
Jetzt kannst du z.B. nach t integrieren; wie es bei dir auch schon steht.

Anschließend kannst du die Integrationsreihenfolge vertauschen.

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ich habe mir grade meine definition im skript angeschaut aber ich weiß nicht was meine integrationsgebiete sind nach welchen kriterien mache ich sie denn

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Das ergibt sich am besten aus der Formulierung des Satzes von Fubini.

Da du aber schon dx und dt geschrieben hast: Aus welcher Menge kommen denn x und t?

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also ehrlich gesagt habe ich dx und dt geschrieben weil ich in der klammer x und t stehen habe.

dx und dt ist doch aus der menge Rⁿ

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Nein. Mit x wird die Variable bezeichnet, welche in f eingesetzt wird. Welche Dimension haben denn die Argumente von f?

Und t ist ldiglich eine reelle Zahl.

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Die Dimension 2 oder etwa nicht ?

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Nein, f ist auf ℝ^n definiert.

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ja stimmt jetzt meine überlegung nicht oder was ?

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Welche Überlegung? Deine Vermutung, x wäre ein Vektor der Dimension ist falsch – das wollte ich mit "Nein" zum Ausdruck bringen.

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habe keine ahnung ich hab wirklich versucht mitzumachen aber komm einfach nicht weiter.....

hab auch im internet recherchiert aber nein

gruß anna