ich schaffe es nicht, diese Aufgabe zu lösen:
Angenommen (X, Y )‘ hat die Dichte
f(x, y) = π-1 falls x2+y2 ≤ 1
0 sonst
(a) Bestimmen Sie die Dichten von X und Y
(b) Berechnen Sie die Kovarianz zwischen X und Y
Danke & Gruß
Hi,Zu (a)ich geh davon aus, dass Du mit Dichten die Randdichten meinst. Die Randdichte für die Zufallsvariable \( X \) ist gegeben durch$$ f_X(x) = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y)\ dy = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{\pi}\ dy = \frac{2}{\pi} \sqrt{1-x^2} $$ Ebenso kann man \( f_Y(y) \) berechnen und erhält$$ f_Y(y) = \frac{2}{\pi} \sqrt{1-y^2} $$Jetzt sieht man schon, dass die Zufallsvariablen \( X, Y \) nicht unabhängig sind, weil ja \( \frac{1}{\pi} \ne f_X(x) \cdot f_Y(y) \) gilt.Zu (b)Die Kovarianz ist definiert als $$ E [\ (X-E(X))\ (Y-E(Y))\ ] = E(XY) - E(X) E(Y) $$Es gilt$$ E(X) = \int_{-1}^1x f_X(x) dx = 0 $$ und ebenso $$ E(Y) = \int_{-1}^1y f_Y(y) dy = 0 $$Weiter gilt $$ E(XY) = \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} x y f(x,y)\ dx\ dy = \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} x y \frac{1}{\pi}\ dx\ dy = 0 $$Also ist die Kovarianz $$ E [\ (X-E(X))\ (Y-E(Y))\ ] = 0 $$Du hast also hier ein Beispiel für nicht unabhängige Zufallsvariablen die aber unkorreliert sind.
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