Wie geht so ein Integral mit Summenzeichen?

Question

$$ \int_{0}^{e-1}(\sum_{k=1}^{x}({\frac { 1 }{ k }-\frac { 1 }{ k+1 }))dx} $$

Als Antwort möglichkeit steht:

A) 1-e

B) e-2

C) 1

D) e

E) e+1

Comments

Tipp: Vereinfache erst mal den Integranden.

Es handelt sich um eine Teleskopsumme. (-> Wikipedia nachschauen / Suche benutzen) . 

EDIT: Stimmt wohl leider nicht! 

Es steht ja über dem Summenzeichen ein x. Hast du das richtig abgeschrieben? 

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Wenn du dir für x=1,2,3 die Summanden hinschreibst, fällt schnell auf, dass es sich um eine Teleskopsumme handelt. Daher bleiben nur der erste und der letzte Summand übrig. Die Frage ist nur ob x ∉ ℕ stört^^.

---> ∑_k=1 ^x 1/k-1*(k+1)=1/1-1/(x+1)

∫₀^e-1  1-1/(x+1)= e-1-ln(e)-0+ln(1)=e-2

Answer 1

Vereinfache die Summe

∑ (k = 1 bis x) (1/k - 1/(k + 1)) = x/(x + 1) = 1 - 1/(x + 1)

∫ (1 - 1/(x + 1)) dx = x - LN(x + 1)

((e - 1) - LN((e - 1) + 1)) - (0 - LN(0 + 1)) = e - 2

Aber wie hier schon darauf hingewiesen wurde darf man denke ich keine Reellen Zahlen als Summengrenzen haben.