Konditionszahlen von Matrixnorm und z.B. Spektralnorm ist definiert. Beweisen, dass....

Question

Konditionszahlen.pdf (0,1 MB) 

Könnt ihr mir bitte bei der Aufgabe helfen? Danke

Answer 1

Hi,

zu (a)

Es gilt $$ \|A\|_2^2 = \lambda_{Max}  $$ also folgt auch $$ \|A^{-1} \|_2^2 = \frac{1}{\lambda_{Min}}  $$ da die Eigenwerte alle positiv sind.

s. https://de.wikipedia.org/wiki/Spektralnorm

Deswegen gilt $$ k_2(A) = \sqrt{\frac{\lambda_{Max}}{\lambda_{Min}}}  $$
Stimmt also in der Aufgabenstellung nicht ganz.

zu (b.a)
folgt aus der Submultiplikativität sofort, s. auch https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik_I/2_Normen_und_Fehlerabsch%C3%A4tzungen

zu (b.b)
s. Unitäre Invarianz https://de.wikipedia.org/wiki/Spektralnorm