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Sei \( n \in \mathbb{N} \).
(a) Sei \( A \in \mathbb{C}^{n \times n} \) eine positiv definite Hermitesche Matrix. Zeigen Sie, dass auch \( A^{-1} \) positiv definit ist.
(b) Seien \( A, B \in \mathbb{C}^{n \times n} \) positiv definit und \( \lambda, \mu \in \mathbb{R}_{>0} \). Zeigen Sie, dass \( \lambda A+\mu B \) ebenfalls positiv definit ist.
(c) Sei \( A \in \operatorname{GL}_{n}(\mathbb{C}) \). Zeigen Sie, dass \( \bar{A}^{\mathrm{tr}} \cdot A \) positiv definit ist.
