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Einfachheit der Nullstelle \(x = 1\) beweisen
Um zu zeigen, dass \(x = 1\) eine einfache Nullstelle des Polynoms \(p(x) = x^3 - 2x^2 -5x + 6\) ist, müssen wir zwei Dinge überprüfen:
1. \(p(1) = 0\), um zu beweisen, dass \(x = 1\) tatsächlich eine Nullstelle ist.
2. \(p'(1) \neq 0\), um zu zeigen, dass die Nullstelle einfach ist, d.h., es liegt keine Mehrfachnullstelle vor.
Schritt 1: Berechnung von \(p(1)\)
\(
p(x) = x^3 - 2x^2 -5x + 6
\)
Ersetzen wir \(x\) durch 1:
\(
p(1) = 1^3 - 2\cdot1^2 -5\cdot1 + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0
\)
Da \(p(1) = 0\), ist \(x = 1\) tatsächlich eine Nullstelle von \(p(x)\).
Schritt 2: Berechnung von \(p'(x)\) und Prüfung von \(p'(1)\)
Bestimmen wir die erste Ableitung \(p'(x)\):
\(
p'(x) = 3x^2 - 4x -5
\)
Berechnen wir nun \(p'(1)\):
\(
p'(1) = 3\cdot1^2 - 4\cdot1 -5 = 3 - 4 -5 = -6
\)
Da \(p'(1) = -6 \neq 0\), ist die Nullstelle \(x = 1\) einfach.
Eindeutig bestimmte Nullstelle \(\lambda(a_2,a_1,a_0)\) nahe bei 1
Gegeben ist \(p(x) = x^3 - 2x^2 -5x + 6\). Für nahe bei \((-2, -5, 6)\) gelegene Koeffiziententripel \((a_2,a_1,a_0)\) können wir die Funktion
\(
p(x, a_2, a_1, a_0) = x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0
\)
betrachten. Da \(p(1) = 0\) für das gegebene Tripel und \(p'(1) \neq 0\), impliziert der Satz über implizite Funktionen, dass in einer Umgebung von \((-2, -5, 6)\) für jedes nahegelegene Tripel eine eindeutig bestimmte Nullstelle \(\lambda(a_2, a_1, a_0)\) existiert, die stetig von \(a_2, a_1, a_0\) abhängt.
Taylor-Entwicklung von \(\lambda((a_2, a_1, a_0) + h)\)
Für die Taylor-Entwicklung von \(\lambda\) in der Umgebung von \((a_2, a_1, a_0)\) betrachten wir
\(
\lambda((a_2, a_1, a_0) + h) \approx \lambda(a_2, a_1, a_0) + \nabla \lambda(a_2, a_1, a_0) \cdot h
\)
mit einem kleinen Vektor \(h = (h_2, h_1, h_0)\). Hierbei ist
\(
\nabla \lambda(a_2, a_1, a_0) = \left( \frac{\partial \lambda}{\partial a_2}, \frac{\partial \lambda}{\partial a_1}, \frac{\partial \lambda}{\partial a_0} \right)
\)
bei \((a_2, a_1, a_0) = (-2, -5, 6)\) zu berechnen. Da jedoch die konkreten Ableitungen von \(\lambda\) in Bezug auf die Koeffizienten \(a_2, a_1, a_0\) nicht explizit gegeben sind, ist die Berechnung dieser Gradienten ohne zusätzliche Information bzw. Funktionsspezifikation nicht direkt umsetzbar. Generell ist das Vorgehen zur Approximation aber durch die Anwendung dieser Grundformel der Taylor-Entwicklung gegeben.
