Vereinfachung eines analytischen Ausdrucks mithilfe einer Taylorentwicklung

Question

Aufgabe: Ich soll durch die angegebene Taylorentwicklung den analytischen Ausdruck für H vereinfachen.

Problem/Ansatz: Mein Problem ist, dass ich nicht genau verstehe, wie ich diesen ersetzen kann.

$$ H = H(c,T,g) = \frac{1}{2}g\cdot(-\frac{c}{g}+\sqrt{\frac{c^2}{g^2}+\frac{2c}{g}T})^{2} $$

Die Funktion soll ich durch die Taylorentwicklung: $$ \sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2 $$ vereinfachen.

LG

Answer 1

\(H = H(c,T,g) = \frac{1}{2}g\cdot(-\frac{c}{g}+\sqrt{\frac{c^2}{g^2}+\frac{2c}{g}T})^{2} \)

             \(= \frac{1}{2}g\cdot(-\frac{c}{g}+\sqrt{\frac{c^2}{g^2}(1+\frac{2g}{c}T}))^{2} \)

                    \(= \frac{1}{2}g\cdot(-\frac{c}{g}+\frac{c}{g}\sqrt{(1+\frac{2g}{c}T}))^{2} \)

                  \(= \frac{1}{2}g\cdot \frac{c^2}{g^2}(-1+\sqrt{(1+\frac{2g}{c}T}))^{2} \)

  \(= \frac{c^2}{2g}(-1+\sqrt{(1+\frac{2g}{c}T}))^{2} \)

Jetzt hast du was, das zu \(\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2 \) passt mit

     \(   x=\frac{2g}{c}T  \)

Comments

Ich danke Ihnen, ich wäre nie darauf gekommen den Faktor auszuklammern und aus der Wurzel zu ziehen.

LG

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In Zeile 4 haben Sie anschließend c/g ausgeklammert. Das darf man jedoch meines Wissens nicht einfach so machen oder? Es war ja schließlich in der Klammer mit dem Quadrat.

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Beim Übergang von der 2. zur 3. Zeile

habe ich ja den Faktor c^2 / g^2 aus der

Wurzel gezogen, dadurch wurde es zu c/g.

Und das konnte ich dann ja ausklammern.

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Genau, aber ich frage mich, ob man das so einfach Ausklammern darf, da es ja im Quadrat steht sozusagen durch die Klammer.

$$ (8)^2 $$ ist nicht gleich $$ 4(2)^2$$

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Ach ja, da hatte ich nicht aufgepasst.

Muss wohl heißen:

\(= \frac{1}{2}g\cdot \frac{c^2}{g^2}(-1+\sqrt{(1+\frac{2g}{c}T}))^{2} \)

\(= \frac{1}{2}\cdot \frac{c^2}{g}(-1+\sqrt{(1+\frac{2g}{c}T}))^{2} \)

Ich korrigiere das.

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Ach das passiert schon mal, die Klammern waren auch irgendwie komisch in meiner Frage. Dennoch vielen Dank für Ihre Hilfe, das eigentliche Problem haben Sie mir ja sehr schnell und gut beantwortet.

Einen schönen Sonntag Abend noch!

LG