Beweise: Eine Folge konvergiert gegen a genau dann, wenn alle Teilfolgen gegen a konvergieren.

Question

Ist eine Folge (a_n)_n∈ℕ konvergent gegen a, so konvergiert auch jede Teilfolge (a_nk)_k∈ℕ gegen denselben Grenzwert a. Umgekehrt gilt auch, wenn jede Teilfolge (a_nk)_k∈ℕ gegen denselben Grenzwert a konvergiert, dass auch die Folge (a_n)_n∈ℕ gegen a konvergiert.

Wie beweise ich diesen Satz?

Answer 1

hier könnte das Cauchy'sche Konvergenzkriterium für Folgen hilfreich sein. Eine Richtung dieser Äquivalenz ist trivial: Wenn jede Teilfolge gegen a konvergiert, so konvergiert die Folge selbst, da sie zur Menge ihrer Teilfolgen gehört, gegen a.

MfG

Mister

Answer 2

Zuerst nehmen wir an, dass lim unendlich an = a gilt , d.h. für alle epsilon > 0
gibt es ein N element von  N, sodass |a_n- a| < epsilon , für alle n >=N.

Es gibt also für alle
epsilon > 0 ein N, sodass |a_2n -a| < epsilon und  |a_2n-1 - a | < epsilon für n >= N.

Es gilt
also limes unendlich  a_2n = a

und

limes unendlich  a_2n-1 = a.

Nun nehmen wir an, dass die beiden
Teilfolgen gegen a konvergieren, d.h. es gibt für alle epsilon > 0 zwei Zahlen N₁;N₂ element von  N,
sodass |a_2n -a|< epsilon bzw. |a_2n-1 -a| < epsilon für n >= N₁ bzw. für n >= N₂.

Wir setzen
dann M := max(2N₁; 2N₂ -1).

Damit gilt |am - a|< epsilon für m >= M.

Das zeigt,
dass es für alle epsilon > 0 ein M element vonN gibt, sodass |a-a_m| < "epsilon für m >= M, d.h. es gilt
lim unendlich  an = a.