Löse die Gleichung ohne Taschenrechner: √(27x · ³√(27x)) - √(x * ³√x) = 8/9

Question

Löse die Gleichung ohne Taschenrechner:

$$\sqrt { 27x*\sqrt [ 3 ]{ 27x }  } -\sqrt { x*\sqrt [ 3 ]{ x }  } =\frac { 8 }{ 9 }$$

Comments

Die Zahlen in der ersten Wurzel kannst du aus der Wurzel herausziehen, dann kannst du beide Quadratwurzeln zusammenfassen und alles ist sehr viel übersichtlicher.

Answer 1

Hier ist meine Lösung:

Übertragungsversuch nach Latex:

\( \sqrt{27 x^{3} \sqrt{27 x}}-\sqrt{x^{3} x}=\frac{8}{9} \)
\( \Leftrightarrow \sqrt{27 x} \cdot \sqrt[5]{27 x}-\sqrt{x} \cdot \sqrt[6]{x}=\frac{8}{9} \)
\( (27 x)^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{2}{3}}=\frac{8}{9} \)
\( \sqrt[3]{27^{7} \cdot x^{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{x}}=\frac{8}{9} \)
\( 9 \cdot \sqrt[3]{x^{2}}-\sqrt[3]{x^{2}}=\frac{8}{9} \quad | ·8 \)
\( \sqrt[3]{x^{2}}(9-1)=\frac{5}{9} \)
\( \sqrt[3]{x^{2}}=\frac{1}{9} \)
\( x^{2}=\frac{1}{729} \quad | \sqrt{ } \)
\( x=\frac{1}{\sqrt{729}} \)
\( x_{1,2}= \pm \frac{1}{27} \)