Gleichungen der Spurgeraden aufstellen. Ebene E: x1+2x2+x3-3=0

Question

E: x₁+2x₂+x₃-3=0

Spurgerade mit der x1x2 Ebene.

x3=0

Soweit so gut In der Schule haben wir dazu folgenden Ansatz gemacht;

1       2       1      3

0       0       1      0

Also schon in Gauß überführt, weil wir das als einheitliches Verfahren anwenden müssen.

Wofür steht denn hier die zweite Gleichung mit 0      0     1       0

?

Answer 1

Hi Simon!

Die zweite Gleichung sagt ja aus:

z=0

Dass heißt die z-Koordinaten der entstehenden Spurgeraden sind dann ja 0, was ja nötig ist, damit die Gerade Spurgerade der x-y-Ebene ist.

Ich zeigs dir an dem Beispiel:

Man bekommt die Gleichungen:

x+2y+z=3

z=0

-> also

x+2y=3

Sei t =y

x+2t=4 | nach t umformen

x= 3-2t

Wir haben dann ja:

x=  3- 2t

y= t

z=0

Unsere Spurgerade lautet also:

(3|0|0)+t (-2|1|0)

Die zweite Gleichung hat also das Kriterium für eine Spurgerade der x-y-Ebene erfüllt, nämlich dass die z-Koordinaten der Geraden alle 0 sind:

Hier hab ichs mal veranschaulicht:

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=ebene(1%7C1%7C0%200%7C0%7C3%200%7C1%7C1)%0Agerade(3%7C0%7C0%201%7C1%7C0)

Comments

Die Spurgerade ist also Teilmenge der x1x2 Ebene?

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Ja genau in diesem Fall schon

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Machen wir mal die Spurgerade mit der x1x3 Ebene.

x2=0

x1+x3=3

x3=y

x1+y=3

x1=3-y

Spurgerade:

x= (3,0,0)+y*(-1,0,1)

Passt?

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Perfekt!

 Das passt:)

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Nehmen wir mal diese Ebene ;)

E: 4x₂+3x₃=-2

Diese ist ja parallel zur x1-Achse.

Demzufolge gibt es ja dann auch keine Spurgerade mit der x1x3 Ebene und auch keine mit der x1x2 Ebene. Es existiert dann nur eine Spurgerade mit der x2x3 Ebene oder?

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Hmm also die Ebene ist ja orthogonal zur x-Achse.

Sie liegt also in der x2-x3-Ebene.

Somit hat sie unendlich Spurgeraden mit der x2x3-Ebene.

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Damit wäre die Spurgeraden mit der x1x2-Ebene die y-Achse und die SPurgerade mit der

x1x3-Ebene die z-Achse

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Wenn doch die Spurgerade mit der x1x3 Ebene die z-Achse ist, gibt es ja einen Schnittpunkt der Gerade im Nullpunkt, aber die Ebene enthält ja den Nullpunkt gar nicht. Die Ebene liegt doch schräg im Raum und hat je einen Schnittpunkt mit der y- bzw. z-Achse oder?

Answer 2

E: x₁+2x₂+x₃-3=0

g₁: 2x₂+x₃-3=0 und x₁ = 0

g₂: x₁+x₃-3=0  und x₂ = 0

g₃: x₁+2x₂-3=0 und x3= 0

Nun für diese drei Geraden  noch eine Parametergleichung erstellen. 

g₁: 2x₂+x₃=3 und x₁ = 0

P(0|1|1), Q(0|0|3) 

g1: X = (0|0|3) + t(0|1|-2)

g₂: x₁+x₃=3  und x₂ = 0

P(0|0|3), Q(3|0|0)

g2: X = (0|0|3) + t(3|0|3)

oder auch : g2: X = (0|0|3) + t(1|0|1)

g₃: x₁+2x₂=3 und x3= 0

P(3|0|0), Q(1|1|0)

g3: X = (1|1|0) + t(2|-1|0) 

Bitte selbst nachrechnen und Fehler korrigieren. 

Comments

Simon: Lass dir die Ebene mal aufzeichnen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2B2y%2Bz-3%3D0

x, y,z kannst du beliebig umbenennen, wenn du die Figur noch anders anschauen möchtest.

Möglicherweise lohnt es sich für dich sogar, die Ebene mal hier: https://www.matheretter.de/geoservant/de darzustellen.

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E: 4x₂+3x₃=-2

Frontliner hat mir dazu oben schon ein paar Hinweise gegeben.

Spurpunkte:

Sx2 (0/-0,5/0)

Sx3 (0/0/(-2/3)

Die Spurgerade mit der x2x3 Ebene wäre ja einfach die Verbindungsgerade der zwei obigen Punkte.

Die Spurgerade mit der x1x2 Ebene ist: s:x=(0/-0,5/0)r*(1/0/0)

und mit der x1x3 Ebene s:x = (0/0/(-2/3)+r*(1/0/0)

Passt das?

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Die Spurgerade mit der x2x3 Ebene wäre ja einfach die Verbindungsgerade der zwei obigen Punkte.

Die Spurgerade mit der x1x2 Ebene ist: s: X=(0/-0,5/0)+ r*(1/0/0)

und mit der x1x3 Ebene s: X = (0/0/(-2/3))+r*(1/0/0)

Ja. Das ist korrekt.

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Prima. Langsam aber sicher wird das. Ich war anfangs nur verwirrt, weil ich dachte die Spurgeraden sind die Verbindungsgeraden der Achsenabschnittspunkte.