Eine Spurgerade der Ebene E geht durch die Punkte P(1/0/0) und R(0/5/0)

Question

, eine andere Spruchgerade der Ebene E geht durch die Punkte S(0/0/4) und R(0/5/0).

Bestimmen Sie die Normalengleichung und eine Parametergleichung der Ebene E. Kann mir jemand sagen wie ich da vorgehen soll?

Answer 1

Hallo Anna,

ich schreibe Vektoren in Zeilenform.

Die gesuchte Ebene e hat die Richtungsvektoren \(\vec{u}\)  =  [0, 5, 0] - [1, 0, 0]  =  [-1, 5, 0]

         und \(\vec{v}\)  =  [0, 0, 4] - [1, 0, 0]  =  [-1, 0, 4]  und den Stützvektor \(\vec{p}\) = [1, 0, 0]

Das Kreuzprodukt ergibt den Normalenvektor \(\vec{n}\)  =  [-1, 5, 0] ⨯ [-1, 0, 4]  =  [20, 4, 5]

→  Normalengleichung  e:    \(\vec{n}\) ·  \(\vec{x}\)  -  \(\vec{n}\) ·  \(\vec{p}\)  = 0

                                      e:     [20, 4, 5] · \(\vec{x}\)  -  20 = 0

            Koordinatengleichung:    (wird manchmal auch als Normalengleichung bezeichnet)

                                      e:    [20, 4, 5] · [x₁ , x₂ , x₃] - [20, 4, 5] · [1, 0, 0]  = 0

                                      e:    20x₁ + 4x₂ + 5x₃  = 20 

Gruß Wolfgang

Comments

Weshalb ist a⃗
a
→
= [1, 0, 0]
der Stützvektor und nicht (0/0/4)?

---

Als Stützvektor kannst du den Ortsvektor von jedem beliebigen Punkt der Ebene nehmen, also auch jeden der 3 gegebenen Punkte P, R oder S . Das Ergebnis ist immer gleich.

In der Antwort würde man ihn statt  \(\vec{a}\)  besser  \(\vec{p}\) = [1 ,0, 0] nennen, weil er zum Punkt P gehört. Habe das geändert.