begründen, dass wendepunkt vorliegt ohne zweite ableitung

Question

f(x)=x²*ln(x)

Bei einer Teilaufgabe sollte man den Grenzwert von f´(x) für x gegen 0 bestimmen. Hier komme ich auf 0.

f´(x)=x*(2*ln(x)+1)

f´(x)=0

x=e^-0,5

Ich würde das jetzt so begründen, dass der Wendepunkt da liegt, wo f´(x) ein Maximum hat. Ein Maximum liegt ja im Intervall von ]0;e^-0,5[ , weil dort f´(x) ja den gleichen Grenzwert/Funktionswert hat, also muss f´´(x) in diesem Intervall einen Wendepunkt haben.

Wie kann man das jetzt etwas mathematischer formulieren?

Comments

Was genau willst du denn aussagen?

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Das der Wendepunkt in ]0;e^-0,5[ liegt, weil dort f´(x) ein Maximum haben muss.

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Und wie hast du diese Aussage gezeigt?

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Durch das Grenzwertverhalten und die Berechnung des Extrempunkts, der Rest ist verbal wie oben beschrieben ;)

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Vielleicht könntest du dich mal ein wenig klarer ausdrücken? Die Wiedergabe der originalen Aufgabe wird sicher auch hilfreich sein!

Answer 1

Waagerechte Tangenten hat die Kurve in den Punkten (0/0) und (e^-0,5/-1/(2e)) ≈ (0,6/-0,18). Dazwischen ist die Funktion stetig. Zwei Punkte mit waagerechter Tangente, die sich sowohl in ihrer x-Koordinate, als auch in ihrer y-Koordinate unterscheiden, können stetig nur über einen Wendepunkt verbunden werden.