Kritische Stellen bestimmen Gradient gleich 0 setzen

Question

folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie sämtliche kritischen Punkte von

(a) \( ) f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R},(x, y, z) \mapsto x y z-x-y^{2}-z^{3} \)

Habe bereits die partiellen Ableitungen berechnet und den Gradienten gleich 0 gesetzt (notw. Bedingung). Allerdings bin ich mir unsicher ob die Ergebnisse stimmen.

grad f(x,y,z) = (yz-1,xz-2y,xy-3z²)

Das hab ich gleich null jetzt und folgendes erhalten:

$$ y=\quad ({ \frac { 3 }{ 2 } ) }^{ \frac { 1 }{ 5 }  }$$

$$x={ 3 }^{ \frac { 2 }{ 5 }  }*{ 2 }^{ \frac { 3 }{ 5 }  }$$

$$z=({ \frac { 2 }{ 3 } ) }^{ \frac { 1 }{ 5 }  }$$

Kann das überhaupt stimmen?

Comments

Was hat deine Probe ergeben?

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Kannst du mir vielleicht einmal den  allgemeinen Rechenweg aufschreiben? Die drei Ableitungen von der Funktion habe ich schon.

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Der allgemeine Rechenweg für die Probe ist, die vermeintliche Lösung der Gleichung in die Gleichung einzusetzen und zu prüfen ob eine wahre Aussage entsteht.

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dein kritischer Punkt ist richtig

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Ich seh bei der Rechnung noch nicht ganz durch. Wie komme ich z.B. auf y=(3/2)^1/5?

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Gleichungssystem lösen:

1. Gleichung auswählen

2. Nach einer Variablen auflösen

3. In andere Gleichungen einsetzen

4. Gleichung aus Gleichungssystem entfernen

5. Zurück zu 1.

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Ok also ich löse die erste Gleichung nach y=1/z auf setze das dann in die zweite sprich in -2y+xz ein erhalte z= √2/x und setze y=1/z auch in die dritte also in -3z^2xy ein und erhalte hier x=3z^3. Wäre das für den Anfang erstmal richtig?

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Muss man überhaupt bestimmen ob es sich in dem Punkt wo sich die Extremstelle befindet um ein Max/Min/sattelpunkt handelt, oder nicht es den Punkt anzugeben?

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> setze das dann in die zweite sprich in -2y+xz ein erhalte z= √2/x

Richtig ist z = ±√2/x falls x > 0.

> setze y=1/z auch in die dritte also in -3z^2xy ein und erhalte hier x=3z³.

Ich weiß nicht wie du auf -3z^2xy kommst, aber x=3z³ ist auf jeden Fall richtig.

> Muss man überhaupt bestimmen ob es sich in dem Punkt wo sich die Extremstelle befindet um ein Max/Min/sattelpunkt handelt

Das kommt auf die Aufgabenstellung an. Deine ist "bestimme alle kritischen Punkte". Du brauchst diese also nicht nahch Max/Min/sattelpunkt zu kategorisieren..

Answer 1

dein Gradient ist richtig.
(3/2)^{1/5}·(2/3)^{1/5} - 1 = 0  und  (3^{2/5}·2^{3/5})·(2/3)^{1/5} - 2·(3/2)^{1/5} = 0 und  (3^{2/5}·2^{3/5})·(3/2)^{1/5} - 3·((2/3)^{1/5})^2 = 0
ist wahr,  also ist dein kritischer Punkt ebenfalls richtig.
Gruß Wolfgang

Comments

Danke, gibt es noch irgendeinen Trick um zu bestimmen ob es sich um Max/Min handelt? Versuche die ganze Zeit die Eingewerte zu bestimmen aber das haut nicht hin