Suche Umkehrfunktion für die Funktion f(x) = 3x^2 + 6x + 4 und Definitions-/Wertebereich

Question

Ich brauche Hilfe für diese Aufgaben. Kann mir vielleicht jemand helfen es geht um Integrale. Ich verstehe das nicht so gut.

Der erste Text von dem Bild ist von Aufgabe 1 :)

a) Finden Sie für die Funktion f(x) = 3x^2 + 6x + 4 das maximale Intervall der Form [a,infinite] auf dem f(x) umkehrbar ist und bestimmen Sie die Umkehrfunktion (explizite Form). Geben Sie dazu den Definitions- und Wertebereich der Umkehrfunktion an.

b) Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion direkt (also durch Ableiten der expliziten Form) und durch Anwendung der Ableitungsregel für Umkehrfunktionen.

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Hinweise: Bei b) kann die Identität sin² x+cos² x = 1 und eine Kombination mit partieller
Integration sehr hilfreich sein. Bei c) sollte man eine lineare Sustitution suchen, die das
Problem auf das Grundintegral (das Zeichen für Integral steht hier) 1 \ x²+1 dx    zurückführt.

Answer 1

a)

f(x) = 3x^2 + 6x + 4

Das ist eine nach oben geöffnete Parabel. Scheitelpunkt liegt bei.

Sx = -b/(2a) = -6/(2*3) = -1
Sy = f(-1) = 1

Daher ist die Funktion im Intervall [-1; ∞[ umkehrbar

Bestimmung der Umkehrfunktion

y = 3x^2 + 6x + 4

3x^2 + 6x + 4-y = 0

x = (-6 + √(6^2 - 4*3*(4-y))) / (2*3) = √(y/3 - 1/3) - 1
y = √(x/3 - 1/3) - 1

Definitionsbereich D = [1; ∞[
Wertebereich W = [-1, ∞[

b)
Direkte Ableitung

y' = 1/(6√(x/3 - 1/3)) = 1/√(12x - 12)

Mit der Ableitungsregel für Umkehrfunktionen überlasse ich jetzt dir. Ich denke das schaffst du.

Comments

Aufgabe 2 und 3 kannst du wenn du selber nicht zurecht kommst zunächst mal mit Wolramalpha probieren.

2 a) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+x%5E2*e%5Ex

2 b) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+sin%28x%29*cos%28x%29

3 a) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+x%2F%28x%5E4-6x%5E2%2B9%29

3 b) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+sin%5E3%28x%29*e%5Ecos%28x%29

3 c) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+1%2F%283x%5E2%2B9%29

Wenn du da nicht weiterkommen solltest frag aber gerne nochmal nach.

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Ich verstehe nicht so gut die Lösungen von Wolframalpha.. Kannst du vielleicht eine einfach zu verstehende Lösung zeigen?

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Sag mir womit du nicht zurecht kommst und ich helfe dir.

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wieso kommt bei A2 a, laut wolframalpha "e^x  (x^2 - 2x + 2) + c raus? ich komme da auf e^x (x^2 - 2x -1 + 1= e^x (x^2 - 2x)

woher aufeinmal die +2...

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und bei b sagt mir wolframalpha: - cos^2(x) / 2

ich komme aber einmal auf sin^2(x) / 2 und einmal hänge ich bei - S (-sin x) * cos x dx = cos x * cos x - S cos x * (- sin x)

was mach ich falsch?

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∫ u' * v dx = u * v - ∫ u * v' dx

∫ e^x * x^2 dx = e^x * x^2 - ∫ e^x * 2x dx (Den blauen Term muss ich nochmal integrieren)

∫ e^x * 2x dx = e^x * 2x - ∫ e^x * 2 dx = e^x * 2x - 2 * e^x = e^x * (2x - 2)

Hier wird jetzt der blaue Term ersetzt

∫ e^x * x^2 dx = e^x * x^2 - e^x * (2x - 2) = e^x * (x^2 - 2x + 2)

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∫ u' * v dx = u * v - ∫ u * v' dx

∫ cos(x) * sin(x) dx = sin(x) * sin(x) - ∫ sin(x) * cos(x) dx (Wir bringen das rechte integral auch nach links)

2 * ∫ cos(x) * sin(x) dx = sin(x) * sin(x)

∫ cos(x) * sin(x) dx = 1/2 * sin^2(x)

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wirst du bitte 1b wie 1a machen ?

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Ok, also bei Aufgabe 2 bin ich jetzt endlich auch darauf gekommen, thx.

bei der Ableitung der Umkehrfunktion mit der Regel komme ich nicht ganz weiter, laut meinen Aufzeichnungen sollte die so sein: g'(x) = (f'^{-1}) (g(x))

also hab ich mal eingesetzt:

g'(x) = 1 / (6x + 6 * sqrt(x/3) - 1/3) -1

jetzt komm ich aber nicht weiter, bzw. ich weiß nicht wie ich von hier auf

y' = 1/(6√(x/3 - 1/3)) = 1/√(12x - 12)

kommen soll.

danke !


ps. ich bin nicht der gleiche Anonym, der die Frage und den letzten kommentar gepostet hat.

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y' = 1/(6√(x/3 - 1/3)) = 1/√(12x - 12)

Du ziehst die 6 mit unter die Wurzel. Achtung. Wenn man das macht, muss man die 6 quadrieren.

6√(x/3 - 1/3) = √(36*(x/3 - 1/3)) = √(12x - 12)

Verstanden ?