Differenzialquotient (h-Methode) für f(x)=(1/x) ermitteln (x ungleich 0)

Question

ich habe Probleme damit die h-Methode an f(x) = (1/x) anzuwenden.

Ich will also lim_h->0 ((x0+h)-x0)/h herausbekommen.

Bei f(x) komme ich allerdings immer nur bis lim_h->0 (1/(x0*h+h²)) - (1/(x0*h)), weiß aber nicht wie ich weiter umformen kann, um letzendendes -x0^-2 herauszubekommen.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Grüße

Answer 1

> Ich will also lim_h->0 ((x0+h)-x0)/h herausbekommen.

Ich nehme an, du meinst   lim_h→0 \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) = lim_h->0  \(\frac{1/(x_0+h)-1/x_0}{h}\)   (#)

Es gilt:

\(\frac{1/(x_0+h)-1/x_0}{h}\)  = \(\frac{1}{h}\) • (\(\frac{1}{x_0+h}\)+ \(\frac{1}{x_0}\)) = \(\frac{1}{h}\) • \(\frac{x_0-(x_0+h)}{x_0·(x_0+h)}\) = \(\frac{1}{h}\)  •  \(\frac{-h}{x_0·(x_0+h)}\) = \(\frac{-1}{x_0·(x_0+h)}\)

→  (#) =  lim_h→0  \(\frac{-1}{x_0·(x_0+h)}\) = \(\frac{-1}{x_0^2}\)

Gruß Wolfgang