Grenzwert sqrt(x⁴+2x³-x-2)/((x-2)(x+2)) ohne Hopital

Question

Hi,

wie findet man den Grenzwert von

lim x->inf sqrt(x⁴+2x³-x-2)/((x-2)(x+2))

ohne den Hopital zu benutzen?

Comments

lim x  −> ∞  [ √ ( ( x⁴ + 2 * x³ - x - 2 ) / ( x² - 4 ) ) ]
x⁴ im Zähler und x² im Nenner steigen jeweils am stärksten.
Alles andere fällt im Zähler und Nenner unter den Tisch.
lim x  −> ∞  [ √ ( x⁴  / x²  ) ]
lim x  −> ∞  [ √ x² ] = [ x ] =  ∞

~plot~   sqrt((x^{4}+2*x^{3}-x-2)/(x^{2}-4)) ; [[ -10 | 10 | 0| 12 ]] ~plot~

x = 3 : 5.1
x = 10 : 11.2
x = 100 : 101
x = 1000 : 1001
usw.

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Ich sehe gerade : die Wurzel kommt nur im Nenner vor.
Meine Lösung ist daher nicht richtig.

Answer 1

Ich würde $$ x^2 $$ im Nenner und Zähler ausklammern und den Grenzwert bilden.

Answer 2

sqrt(x⁴+2x³-x-2)/((x-2)(x+2))=sqrt(x⁴+2x³-x-2)/(x²-4)=sqrt[(x⁴+2x³-x-2)/(x⁴-8x²+16)] 

limes x--->inf sqrt[(x⁴+2x³-x-2)/(x⁴-8x²+16)]=1

weil die Wurzelfunktion stetig ist und in dem Bruch die höchsten Potenzen den selben Vorfaktor haben.

Comments

Wie kommst Du auf $$ x^4-8x^2+16 $$ im Nenner?

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Da wir den limes gegen Unendlich betrachten,können wir o.B.d.A. annehmen, dass x>2, sonst würde die Wurzel für negative Argumente Probleme machen.

Dann ist (x²-4)=sqrt[(x²-4)²]=sqrt[x⁴-8x²+16].   

Answer 3

lim x->inf sqrt(x⁴+2x³-x-2)/((x-2)(x+2))

Grob: Betrachte die maximalen Potenzen von x.

Oben hast du eine Wurzel. Da ist das dann 1*x².

Unten hast du auch 1*x² .

==> Grenzwert_{x-> unendlich} ist 1/1 = 1 

Wenn du unbedingt rechnen willst: 

lim x->inf sqrt(x⁴+2x³-x-2)/((x-2)(x+2))

= lim x->inf sqrt(x⁴+2x³-x-2)/(x²-4)

= lim x->inf sqrt ((x⁴+2x³-x-2)/((x²-4)(x² -4))) 

= lim x->inf sqrt ((x⁴+2x³-x-2)/((x⁴ -8x²  + 16)) 

= lim x->inf sqrt ((1+2/x-1/x³-2/x⁴)/((1 -8/x²  + 16/x⁴)) 

Grenzübergang.

= sqrt ( (1 + 0 - 0 -0)/(1-0+0)) 

= sqrt (1/1) 

= 1.