wahr oder falsch, Fragen zu Beschränktheit und Intervallen

Question

weiss einer ob die aussagen stimmen?

1) Seien A, B ⊆ ℝ, sei A ⊆ B, und sei A ≠ ∅. Wenn B beschränkt ist, dann ist auch A beschränkt.

2) Seien A, B ⊆ ℝ, sei A ⊆ B, und sei A ≠ ∅. Wenn A beschränkt ist, dann ist auch B beschränkt.

3) Die Menge der x ∈ ℝ, die die Ungleichung I3x - 7I  < 2 erfüllen, ist ein Intervall.

4) Die Menge der x ∈ ℝ, die die Ungleichung (x+1)(x-2)  < 0 erfüllen, ist ein Intervall.

5) Es gilt  I Ix+yI + IzI - Ix + y + zI I = Ix + yI + IzI - Ix + y + zI.

Answer 1

1) Seien A, B ⊆ ℝ, sei A ⊆ B, und sei A ≠ ∅. Wenn B beschränkt ist, dann ist auch A beschränkt.

wahr

2) Seien A, B ⊆ ℝ, sei A ⊆ B, und sei A ≠ ∅. Wenn A beschränkt ist, dann ist auch B beschränkt.

falsch Gegenbeispiel  { -1 ; 0 ; 1 } ist eine Teilmenge der unbeschräkten Menge Z.

3) Die Menge der x ∈ ℝ, die die Ungleichung I3x - 7I  < 2 erfüllen, ist ein Intervall.

wahr

4) Die Menge der x ∈ ℝ, die die Ungleichung (x+1)(x-2)  < 0 erfüllen, ist ein Intervall.

wahr,   es ist  ] -1 ; 2 [

5) Es gilt  I Ix+yI + IzI - Ix + y + zI I = Ix + yI + IzI - Ix + y + zI.
ist wahr. Dreiecksungleichung |a+b| ≤ |a| + |b| auf
a=x+y und b=z anwenden. gibt links im Betrag  nie etwas negatives.