Ableitung von Wurzel (x) ^Wurzel (sin (x)) und von (x^x)^x

Question

Hi, ich würde gerne wissen, wie man auf die Ableitung von f(x) = Wurzel (x)^{Wurzel (sin (x))} und von g (x) = (x^x)^x kommt.

Answer 1

allgemein ist ja   a^b = e ^b*ln(a) 

also etwa (x^x )^x = (e ^x*ln(x) )^x  und eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten

multipliziert  gibt also 

$$ {e}^{x^{2}*ln(x)} $$

Ableitung mit Kettenregel und bei der Ableitung des Exponeneten

die Produktregel gibt:

$$ {e}^{x^{2}*ln(x)} *  ( 2x*ln(x) + x^2 * 1/x )$$

 $$ = {e}^{x^{2}*ln(x)} *  ( 2x*ln(x) + x)$$ 

Du kannst den ersten Faktor auch wieder in

die ursprüngliche Form überführen.

Das mit der Wurzel geht so ähnlich. Musst halt

auf e hoch ....  umformen.

Answer 2

y= √x^{ √ sin(x)}

ln(y)= ln ( √x^{ √ sin(x)} ) ->beide Seiten logarithmieren

ln(y)=  √(sin(x)) *ln ( √(x)) ->beide Seiten ableiten

y'/y=  (2 sin(x) + x ln(x) *cos(x))/ (4x √(sin(x))

y'= (2 sin(x) + x ln(x) *cos(x))/ (4x √(sin(x)) *√x^{ √ sin(x)}