Die erste Ableitung von ln(x) ist \( \frac{1}{x} \).
Um Allerdings deine Funktion vollständig ableiten zu können, musst du außerdem noch die Kettenregel sowie die Produktregel verwenden. Ich gehe mal davon aus, dass Grundlagen der Differenzialrechnung bekannt sind, sonst würdest du kaum so eine Aufgabe lösen müssen. Falls du etwas nicht verstehst, frag einfach nach.
Wählt man g(x) = (1+sin(x))/(1-sin(x)), so lässt sich f(x) folgendermaßen schreiben:
\( f(x) = \sqrt{ \ln(g(x) } \)
wobei \( \sqrt{x} \) die Wurzelfunktion ist, also \( \sqrt{x} = x^\frac{1}{2} \)
Wählt man nun noch h(x) = ln(g(x)), so lässt sich die Funktion weiter umschreiben zu:
$$ f(x) = \sqrt{h(x)} $$
Die Wurzelfunktion besitzt die Ableitung:
\( \sqrt{x}` = \frac{1}{2·\sqrt{x}} \)
Nach der Kettenregel gilt jetzt also:
\( f'(x) = 1/(2 · \sqrt{h(x)}) · h'(x) \)
Jetzt rechnet man h'(x) aus: zur Erinnerung, h(x) = ln(g(x)) mit ln'(x) = 1/x folgt wiederum nach der Kettenregel:
h'(x) = 1/g(x) · g'(x)
Jetzt muss nur noch g'(x) nach der Quotientenregel ausgerechnet werden:
(Zur Erinnerung: für g=u/v folgt g' = (u'v-v'u)/v²)
Wir haben hier
u = 1+sin(x)
u' = cos(x)
v = 1-sin(x)
v' = -cos(x)
g'(x) = (cos(x)·(1-sin(x))-(-cos(x))·(1+sin(x))/(1-sin(x))² = 2· cos(x)/(1-sin(x))²
Damit folgt:
h'(x) = 1/g(x) · g'(x)
h'(x) = (1-sin(x))/(1+sin(x)) · 2·cos(x)/(1-sin(x))² = 2·cos(x)/(1-sin²(x))
Nach dem trigonometrischen Pythagoras lässt sich der Nenner zu cos²(x) umformen, sodass man ein cos(x) kürzen kann. Übrig bleibt:
h'(x) = 2/cos(x)
Insgesamt galt:
\( f'(x) = 1/(2·\sqrt{h(x)}) · h'(x) \)
Setzt man nun h(x) und h'(x) ein, so erhält man:
\( f'(x) = 1/(2·\sqrt{ln((1+sin(x))/(1-sin(x)}) · 2/cos(x) \)
Die 2 kürzt sich noch raus.
Als Formel (wobei ich zusätzlich noch sec(x) = 1/cos(x) verwende):
$$ f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { \cos ( x ) \sqrt { \ln \left( \frac { 1 + \sin ( x ) } { 1 - \sin ( x ) } \right) } } = \frac { \sec ( x ) } { \sqrt { \ln \left( \frac { 1 + \sin ( x ) } { 1 - \sin ( x ) } \right) } } $$
